172

венных структур или, тем более, как марксистское «развитие производительных сил», то прогресс тогда состоял в ликвидации последних остатков участия женщин в жизни общества, а позиция Пифагора оказывается пусть разумной и благород­ ной, но архаичной. Она несла грекам "старомодные" идеи - частью микенские, ча­ стью восточные. Но и она к середине -V века исчезла. Те, кого через сто лет име­ новал пифагорейцами Аристотель, никакой школы (в организационном смысле) собою не являли.

Парадокс: в самых жестко полигамных царствах (Египет и Персия), где сестры и (реже) дочери царей регулярно становились их наложницами, женщины иногда правили, тогда как в Греции женщины очень рано были полностью вытеснены из общественной жизни. Персы начала -V века, если верить Геродоту, сердились, что у греков на пиру нет женщин, а персидские цари часто слушались (иногда и побаи­ вались) своих цариц и благоволили немногим правительницам подчиненных пер­ сам греческих городов.

В самой же Греции, точнее - в ее свободной от персов части, женщины тогда из­ редка участвовали в управлении лишь в одном месте: в отсталой Спарте. А в "пере­ довых" полисах (прежде всего в Афинах), где мы видим философию и науку, женщи­ ны были взаперти. Мы вернемся к этому на лекции 12.

7. Начало доказательной математики

Первые свидетельства проникновения идеи доказательства в греческую мате­ матику относятся к середине -V века. Их по-существу два. Первое носит косвенный характер, но все-таки весьма убедительно: пифагорейцы доказали несоизмери­ мость диагонали квадрата с его стороной. Хотя данное ими доказательство неиз­ вестно, но само утверждение без его доказательства было бы бессмысленно, ибо его смысл только путем доказательства выясняется. Вернее всего, как полагают, это доказательство было от противного, т.е. было показано, что диагональ не яв­ ляется ни четным, ни нечетным числом.

Второе свидетельство прямое: известна серия утверждений и их доказательст­ ва - это теория «гиппократовых луночек» Гиппократа из Хиоса (Хиос - ионийский остров и город на нем). Он в молодости был купцом, но был ограблен пиратами и «потерял всё» (конечно же, не всё - на прожитие кое-что осталось). Он прибыл в Афины искать управы на пиратов (ведь почти весь флот Эгеиды был тогда афин­ ским), встретился с философами, увлекся математикой и поразил их геометриче­ скими способностями.

Отнятого Гиппократ Хиосский не вернул, зато стал профессиональным матема­ тиком, первым известным нам по имени автором учебника. Правда, от учебника до нас дошло лишь название («Начала»), зато нам от Симпликия известно его рассу­ ждение о «луночках» [12; 21]. К сути его надо подойти издалека.

Геометризация арифметики (а затем и алгебры) привела к рождению геомет­ рии циркуля и линейки. Точнее говоря, желание исследовать отрезки вместо чисел породило стремление свести все вычисления к таким построениям, которые не требуют измерений и которые можно логически контролировать. В качестве тако­ вых было предложено проведение отрезков прямых и дуг окружностей. Самая

173

простая из задач данного класса - бисекция отрезка: чтобы разделить заданный отрезок пополам, из каждого его конца проводится окружность радиуса, большего, чем пол-отрезка, и через точки пересечения окружностей проводится прямая. Ее пересечение с отрезком - точка, делящая отрезок пополам.

Столь же легко делится пополам заданный угол, чуть сложнее делится на три части отрезок, а вот угол на три части разделить не удается. К этой задаче три­ секции угла быстро добавились еще две неразрешимые задачи - удвоение куба (построить куб объемом вдвое больше данного) и квадратура круга (построить квадрат, по площади равный заданному кругу). Когда и кем они были поставлены, неизвестно, но можно указать на третью четверть -V века.

Гиппократ Хиосский занялся квадратурой круга и нашел квадрируемую (т.е. до­ пускающую построение равновеликого квадрата) часть круга - луночку, ограничен­ ную двумя дугами, внешняя из которых имеет диаметром катет равнобедренного треугольника, а внутренняя - его гипотенузу. Легко видеть, что четверть большей окружности равна по площади меньшей полуокружности, а значит, луночка равно­ велика треугольнику. Казалось, до решения основной задачи - рукой подать, но это было заблуждением. Лишь в Новое время было показано, что задача квадра­ туры круга не решается геометрией циркуля и линейки. Тем самым, ходячее выра­ жение «квадратура круга» означало (пока говорившие понимали его смысл) прин­ ципиально неразрешимую задачу, а не просто очень трудную.

Результат изящный и к тому же показывает уровень развития геометрии: использует не толь­ ко «пятую теорему» Фалеса и теорему Пифагора, но и пифагорейскую теорию пропорций (позво­ лявшую рассуждать о частях круга, не имея поня­ тия числа «пи»), и многое другое (см. При-

меч 126\

К теме доказательной математики мы вернемся на лекции 16.