158

Лекция 10. Ранняя математика и пифагорейцы

1. Особые трудности истории математики

Странно: почему философия, в общем-то, знает свою историю, а наука - нет? Конечно, и тут и там есть и знатоки, и неучи, но надо признать, что философ, не читавший Платона, столь же редок, как математик, читавший Эвклида, или зоолог, читавший Аристотеля. А из геологов и химиков вообще мало кто назовет хоть одно античное имя, к его науке относящееся.

Почему так? Историк Владимир Якобсон писал («Знание-сила», 1995, № 6): «многообразие культур можно уложить в два типа - культуры текстов и куль­ туры правил». Для первого «характерны сохранение и канонизация текстов, которые, таким образом, никогда не оказываются устаревшими», она «почти не подвержена кризисам, но мало динамична, а кризис имеет здесь форму за­ стоя».

В виде примера такой культуры он указал прежний Китай.

Для культур второго типа важны не сами тексты, а правила их создания, кото­ рые то и дело меняются, вызывая кризисы, «но зато такая культура более дина­ мична». В виде примера он указал Россию (я бы скорее назвал США, тогда как Россия явственно показывает смесь этих культур).

Как всякая дихотомия (деление на две части), такая схема очень груба (Якоб­ сон: «речь может идти лишь об основной тенденции»), но для нашей цели удобна: смею утверждать, что философия - тоже культура текстов, а нынешняя наука - культура правил. И среди наук найдутся историконаучные антиподы - например, астрономия и математика. О ключевой роли истории в классической астрономии мы уже говорили в п. 2 лекции 7. В отношении ранних математиков наши знания куда хуже, чем в отношении иных ученых - труды их гораздо реже переписывали и потому рано утратили. Первый свод математических знаний, дошедший до нас: «Начала» Эвклида - лет на сто моложе Гиппократова корпуса.

Причина очевидна: математический текст почти всем интересен только своими результатами, и даже профессионалы редко склонны изучать "плохое" доказа­ тельство, если известно "хорошее". Поэтому с появлением «Начал» Эвклида пере­ стали копироваться не только оригинальные труды предшественников, но и преж­ ние сводки, тоже носившие названия «Начала» (кроме названий, мы о них ничего не знаем). Вот и получается, что о первых математиках мы знаем в лучшем случае их имена.

Таков, например, Эвфорб, о котором шла речь на лекции 4. Обычно подобных лиц историки даже не упоминают, но это - большая ошибка: само наличие этих имен позволяет многое понять в расстановке умственных сил.

Отто Нейгебауер, один из лучших знатоков древней математики и астрономии, справедливо считал: как ни один историк литературы не смог бы ограничиться клас­ сиками вроде Шекспира, так «и история науки может быть написана только в том случае, если доступны не только одни классики» [69, с. 66].

160

1.Диаметр делит круг пополам.

2.Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3.Вертикальные углы (противолежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых) равны. Согласно Проклу, этому утверждению Фалес не дал доказа­ тельства - намек на то, что другие были доказаны.

4.Равны треугольники, у которых соответственно равны одна сторона и приле­ жащие к ней углы. Это открытие приписано Фалесу на основании косвенного сооб­ ражения - оно якобы необходимо для измерения расстояния до корабля в море, ко­ торым, согласно традиции, Фалес восхищал сограждан.

Прокл пользовался не дошедшей до нас «Историей геометрии» Эвдема, учени­ ка Аристотеля. Между Фалесом и Эвдемом - более двухсот лет, между ним и Проклом - еще 800, а в помежутке -снова два свидетельства:

5.Римская писательница Памфила, I век: Фалес описал круг вокруг прямо­ угольного треугольника (видимо, был открыт факт совпадения его гипотенузы с диаметром) и отметил это открытие принесением в жертву быка.

6.Греческий историк Плутарх, чуть позже Памфилы, около 100 года: отноше­ ния одноименных сторон в подобных треугольниках пропорциональны.

Что из этого могло принадлежать Фалесу, а что не могло? По-моему, первые три результата для той поры невероятны: они наглядно очевидны, а потому сам вопрос о потребности в их доказательстве требует достаточно высокой математи­ ческой культуры. Зайцев именно в идее доказательства наглядно очевидных по­

ложений видел гениальное новаторство Фалеса [43, с. 210], но не задал себе во­ проса: кто мог это новаторство слушать и понимать? (см. Примеч.117).

Даже если допустить, что Фалес додумался до такой гениальной постановки во­ просов (дескать, доказывать надо всё, что не принято в качестве аксиом), то кто стал бы передавать это никому не понятное знание? А поскольку собственных ма­ тематических его трудов просто не было - их, в отличие от астрономических, никто из древних авторов даже не называл, - то мы не могли бы и узнать о подобных ге­ ниальных догадках. И в самом деле, мы впервые видим постановку данных вопро­ сов лет через 200, во времена Платона.

Зато вполне можно принять, что Фалес высказал практически полезные утвер­ ждения, например об измерении высоты по длине тени в определенный момент суток. Абстрактные же утверждения ему, по всей видимости, приписали после Платона. Правда, математик и историк науки Бартел Ван-дер-Варден в своей заме­ чательной книге [12] уверял, что Фалес мог доказывать всё, и отводил возражения скептиков (уверенных, что первый математик не мог иметь потребности доказы­ вать самоочевидное) следующим соображением: к тому времени египетские и ва­ вилонские математики нашли много решений частных задач, но во времена Фале­ са «египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями», так что именно «младшее поколение страстно любознательных чужеземцев» должно было задаться вопросом «как мне это доказать?», что и сделал Фалес. Ут­ верждение, что Фалес ничего не заимствовал у Вавилонии, «было допустимо толь-

161

ко в те времена, когда о вавилонской математике ничего не знали». Осмелюсь возразить.

Во-первых, отношение «старшие-младшие» имеет смысл, если младший знает достижения старших; но египетские задачи не выглядят для самого Ван дер Вардена подходящим материалом, а о вавилонских контактах у греков того времени нет никаких данных, о чем уже шла речь на лекции 5. Видимо, греки узнали вави­ лонскую науку не во времена Фалеса, а после греко-персидских войн, то есть лет на сто позже. Во-вторых, повторю - даже если бы Фалес что-то доказал, это неко­ му было слушать. В-третьих, этого и в самом деле никто до нас не донес - разго­ воры о фалесовых доказательствах неконкретны и очень поздни. Так что же Фалес сделал в действительности как геометр?

Более всего он знаменит тем, что измерял расстояния до недоступных точек - писали, что это были высота египетской пирамиды и дальность корабля в море. Последний результат служит историкам основанием признать за Фалесом резуль­ тат 4, но оно, это "основание", выглядит несерьезно по трем причинам.

(1) Измерение расстояния до корабля в море - чисто абстрактное упражнение математика для математиков: он якобы выкладывал на суше треугольник, гипоте­ нуза DE которого равна расстоянию DB до корабля, и измерял ее на местности. Реально ли откладывать в глубь неровного и притом заселенного или занятого по­ садками побережья огромный треугольник? Нет, конечно.

(2) Эту трудность предлагали обойти, допуская, что Фалес умел работать с лю­ быми подобными треугольниками. Тогда каждому из двух наблюдателей, стоя-щих на известном растоянии, достаточно измерить угол между кораблем и другим на­

дыдущее громоздкое построение излишне.

Как и при анализе фалесовой астрономии, надо прояснить неясности вместе, в совокупности; поищем способ, допускающий решение обеих задач. Оба изме­ рения (дальности и высоты) можно, как увидим, совершить единым способом с

помощью подобных треугольников, но без самого понятия подобия.

Последуем за Иеронимом Родосским (ФФ 3.8.3), по которому Фалес подметил, что когда длина тени одного предмета равна его высоте, тем же свойством обла­ дают все предметы. Так можно измерить высоту колонны, но не высоту пирамиды, ибо центр основания пирамиды тоже недоступен (и даже невидим), а ориентация

162

ее углов относительно азимута Солнца в момент равновеликости длины и высоты произвольна. Откладывать длину тени пирамиды не от чего. Однако, согласно Плутарху (в рассказе «Пир семи мудрецов»), фараон Амасис восхищался:

«не нуждаясь ни в каких инструментах, ты [Фалес] просто установил палку на край тени, которую отбрасывала пирамида... получилось два треугольника, и ты наглядно показал, что пирамида относится к палке, как тень - к тени».

Фраза явно и неумело вымышлена (на самом деле налицо лишь один треугольник), повторяет Иеронима (и потому не включена мной в ФФ), однако верно указывает на то, что Фалес обходился без инструментов. Решение, не требующее никаких инст­ рументов, кроме мерного шнура, и надо искать.

Вовсе не обязательно иметь теорию подобия, чтобы использовать одно на­ глядное следствие подобия, которое просто нельзя не заметить, ведя наблюдения с тенями: есть не только момент, когда тень всякого предмета равна его высоте, но и момент, когда тень вдвое длиннее самого предмета. Поэтому высоту предме­ та (с доступным основанием) легко измерить, если сравнить две тени - в момент, когда длина тени равна высоте предмета, и в момент, когда она вдвое длиннее: в этот момент высота объекта равна разности длин его теней.

Беда в том, что длинная и короткая тени ни в какой момент данного дня не ле­ жат на одной прямой (или близких прямых), а спроецировать короткую тень на длинную нельзя, не зная их общей точки - центра основания объекта. Конечно, первую (короткую) тень пирамиды можно измерить летом и отметить на земле, а вторую (двойной длины) - осенью, найдя тот день, когда двойная тень ляжет на ту же прямую. Способ прост, но слишком долог и отнюдь не зрелищен.

Для публики можно было сравнительно быстро сделать другое - измерить объект с доступным основанием, например, колонну. Такой опыт действительно мог заинтересовать местного правителя - ведь тот мог приказать после этого ра­ бам замерить высоту колонны мерным шнуром. Привлекши внимание повелителя, Фалес мог заинтриговать его и затем уже показывать ему и его свите более слож­ ные задачи. Пирамида же, полагаю, появилась в данной истории позже - для при­ дания египетского колорита Фалесу и его математике.

Фактически речь идет тут о подобных треугольниках, но понятие такое вводить вовсе не обязательно: достаточно заметить, что в один момент все тени равны, а в другой - все вдвое длиннее самих предметов. Затем неизбежно будет отмечено, что при дальнейшем опускании Солнца настанет момент, когда все тени втрое длиннее самих предметов, вчетверо и т.д.

Но если этот факт понят, то отпадает и нужда строить огромный треугольник для нахождения расстояния до корабля - можно построить на земле треугольник небольшой и воспользоваться тем, что мы именуем подобием и чем Фалес заве­ домо пользовался, если действительно определял высоты недоступных точек.

Он мог подготовиться к измерению (и даже собрать публику, объявив, что из­ мерит дальность до первого же корабля, какой появится вдали, а их в Милет при­ ходило много), а само измерение провести на небольшом береговом треугольнике так быстро, что корабль не сильно сместится. Это быстро и зрелищно.