37

Сила электростатических взаимодействий, выражаемая законом Кулона, достаточно медленно убывает с расстоянием, и нет универсального споособа оценить порог расстояния, после которого следует пренебречь взаимодействиями зарядов. Однако в молекулярном моделировании обычно явным образом задают значение порога обрезания (cuto distance), после которого электростатические взаимодействия между атомам не учитывают. Значение этой величины обычно имеет порядок 11-14 ангстрем. При таком приближении молекулярно-динамические расчеты становятся менее точными, но значительно более быстрыми, поскольку это дает возможность разбить систему на относительно независимые части и проводить расчеты параллельно на нескольких ядрах или узлах компьютера.

Результатом расчета по молекулярно-динамическому моделированию является траектория молекулярной системы, и следующим шагом является интерпретация полученной траектории. Одним из приемов при обработке траекторий является возможность интерпретировать рассчитанные фазы траекторий, в терминах статистической физики, как ансамбль состояний. Такая возможность является следствием так называемой эргодической гипотезы, согласно которой, уравновешенная система при моделировании находится в каждом из возможных ее состояний такую часть времени, какова вероятность этого состояния в полном ансамбле состояний системы.

Оценка ансамбля состояний молекулярной системы позволяет рассчитать многие из ее статистических свойств. В некоторых случаях при анализе используют упорядочение и группировку наблюдаемых кадров траектории, как, например, для детекции нескольких возможных фаз состояния системы, и условий переключения между ними. Возможны и другие подходы для сведения результатов расчетов до уровня содержательных выводов, касающихся динамических свойств изучаемой системы.

Анализ нормальных мод

Методы аналитической механики, в рамках уравнений Ньютона, во многих случаях позволяют провести приближенный анализ поведения системы без необходимости численного решения точных уравнений движения. Из этих методов, при анализе молекулярных систем широко используется так называемый анализ нормальных мод.

Силы упругости, которые линейно зависят от координат атомов, приводят к наиболее простым для аналитического решения уравнениям движения; в общем случае точные уравнения движения системы являются нелинейными и более сложными для решения. Однако если предположить, что система при движении мало отклоняется от положения равновесия, то возможно упростить точные уравнения движения, оставив первый линейный член разложения функций силы в ряд Тейлора. Метод нормальных мод основан на анализе уравнений движения системы в линейном приближении и используется для расчета малых колебаний системы вокруг положения равновесия.

Шарик, прикрепленный к пружине, и качающийся маятник - это примеры систем, в которых происходят колебания вокруг положения равновесия. Сила упругости, с которой пружина действует на шарик, прямо пропорциональна отклонению шарика от равновесного положения.

38

В этом случае, как и в случае маятника, уравнение движения можно решить аналитически и решением будет гармоническая зависимость координаты x от времени t, то есть колебания выражаемые формулой x = A sin(!t+ϕ). В этой формуле амплитуда A и фаза ϕ зависят от начального положения системы, а частота колебаний ! определяется массой частицы и степенью жесткости силы, которая возвращает частицу в положение равновесия (например, коэффициентом упругости пружины). Энергия при таком движении сохраняется, переходя из кинетический энергии движения частицы в потенциальную энергию и обратно.

Движение системы атомов или других частиц, связанных между собой через силы взаимодействия, находящуюся в одном из возможных устойчивых положений равновесия, также можно свести к совокупости колебательных движений, при условии что все эти колебания мало отклоняют систему от ее положения равновесия. Этот расчет можно провести с помощью методов матричной алгебры, и результатом будет набор так называемых «нормальных мод», направлений согласованных колебаний частиц в системе. Каждая нормальная мода будет характеризоваться своей частотой колебательных движений.

При исследовании движения белка методом нормальных мод с помощью линейной зависимости выражают не только упругие ковалентные связи, но и электростатические взаимодействия и силы Ван-дер-Ваальса, разложенные в ряд Тейлора вблизи положения равновесия. Как результат расчета нормальных мод, наибольший вклад в динамические характеристики белков будут вносить направления нормальных мод с наименьшими частотами колебаний. Это следует из подходов статистической механики, где выводится принцип о равномерном распределении энергии по всем возможным независимым направлениям движения системы. Из уравнений колебательного движения легко получить, что полную энергию колебаний, в случае простого одномерного движения, можно записать как E = kA2. Поскольку у колебаний с более высокой частотой коэффициент жесткости упругой силы k больше, то амплитуда A будет наибольшая у самых медленных колебаний. И, таким образом, медленные колебания будут проявляться в большем изменении координат атомов при коллективных согласованных движениях частей белка.

39

Рис. 2.21: Пример расчета нормальных мод белка

Показана структура белка crambin (крамбин), стрелки показывают направления и амплитуду колебаний согласно седьмой нормальной моде.

При каноническом анализе нормальных мод, первые 6 мод относятся к поступательным и вращательным движениям белка как целого, и седьмая (или первая "нетривиальная") нормальная

мода описывает колебательные движения, происходящие с наибольшей амплитудой.

Расчет нормальных мод проведен с помощью пакета bio3d, рисунок построен с помощью пакета pymol.

Для белковой молекулы, изображенной на рис. 2.21, анализ нормальных мод позволил рассчитать характерные направления колебательных движений (изображенные стрелками на рисунке). Безусловно, такой расчет является грубым приближением; в более точных моделях следует учитывать тепловые движения атомов белка, в основной цепи и в боковых цепях остатков. Однако, при усреднении этих тепловых движений, направления коллективного движения, выделенные с помощью анализа нормальных мод, будут проявляться в большей степени, чем другие направления.

Но, из постановки задачи в анализе нормальных мод следует, что применения этого метода ограничены исследованиями малых колебаний системы в окрестности положения равновесия. Более сложные структурные перестройки в белковых молекулах рассчитать с помощью этого подхода невозможно.

Моделирование Монте-Карло

Класс методов вычислительной математики, известный как "методы Монте-Карло", используется, в общем случае, для решения задач численного интегрирования, различных по постановке и