А27820 Данин В.Б. Техника измерений хол установок и пищевых производств

k2 – коэффициент, учитывающий степень влияния изменения температуры хранимого груза на температуру воздуха камеры,

Передаточные функции на основании выражения (2.32) будут иметь вид:

W1(Р) = tогр(Р)/ tк(Р) = k1/ТР +1;

(2.33)

W2(Р) = tгр(Р)/ tк(Р) = k2/ТР +1.

Из (2.33) следует, что упрощенно передаточная функция холодильной камеры может быть представлена в виде суммы двух передаточных функций:

W1(Р) + W2(Р) = Wк(Р).

Из приведенных расчетов видно, что полученная математическая модель является приближенной, так как она не учитывает ряд других теплопритоков: от работающих в камере людей, от осветительных приборов, от привода воздухоохладителя и т. д. Более точную модель можно получить только экспериментальным путем, пример которого был описан ранее.

2.6. Частотные характеристики динамических звеньев

Частотные характеристики используются при анализе и синтезе автоматических систем. При подаче на вход любого динамического звена или их соединений синусоидальных колебаний

X = Am sin ( t)

на выходе также установятся синусоидальные колебания, но с измененными амплитудой и фазой:

Y = A1 sin ( t + φ),

31

причем A и φ будут изменяться при изменении частоты . Таким образом, зависимости А1( ) и φ( ) будут называться, соответственно, амплитудно-частотными и фазочастотными характеристиками.

Частотные характеристики можно получить экспериментальным путем, подавая гармонические колебания на вход исследуемого объекта, но их легко получить и расчетным путем через передаточную функцию исследуемой системы заменой оператора Р на его мнимую часть j . В этом случае передаточная функция вырождается в комплексный коэффициент передачи W (j ). Рассмотрим типовые динамические звенья [1].

2.6.1. Апериодическое звено I порядка

При апериодическом звене I порядка

W(Р) = k/ТР +1; W(j ) = k/(j Т +1).

Комплексный коэффициент передачи характеризует изменение амплитуды по модулю Mod, а по аргументу arg – сдвиг фазы с изменением частоты

и φ( )) амплитудно-фазочастотную характеристику (АФЧХ) (рис. 2.16). Амплитудно-фазочастотная характеристика строится в поляр-

ных координатах A( ) и φ( ) и имеет вид полуокружности, диаметр которой равен статическому коэффициенту усиления K. Каждая точка характеристики соответствует значениям A и φ при определенной частоте . Из графиков видно, что на низких частотах, где A( ) близко к K, звено хорошо пропускает колебания, а на повышенных частотах характеристика резко падает, устремляясь к нулю.

32

Рис. 2.16. Характеристики:

а – амплитудная; б – частотная; в – амплитудно-фазочастотная

Таким образом, звено характеризуется полосой пропускания, равной 0 ≤ ω ≤ 1/T, причем при

По виду частотной характеристики можно судить о свойствах переходного процесса, длительность которого равна 3Т, а ширина полосы пропускания частот обратно пропорциональна Т. Отсюда вывод: чем шире на частотной характеристике полоса пропускания, тем быстрее затухает переходной процесс.

2.6.2. Апериодическое звено II порядка

Вид характеристики показан на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Апериодическое звено II порядка

2.6.3. Звено с запаздыванием

Для случая звена с запаздыванием

Амплитудно-фазочастотная характеристика имеет вид полной окружности, периодически повторяющейся (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Амплитудно-фазочастотная характеристика

34

2.7. Понятие об устойчивости САР

Для нормального функционирования система автоматического регулирования должна удовлетворять требованиям устойчивости. Система является устойчивой, если она возвращается к установившемуся состоянию после прекращения возмущающего воздействия, которое вывело ее из первоначального состояния [1]. Общее решение дифференциального уравнения САР может быть представлено в виде суммы двух функций времени:

где Xs (t) характеризует вынужденное движение системы и зависит от внешнего воздействия, а Xd (t) определяет свободное движение или переходный процесс в системе после снятия единичного воздействия.

Для устойчивой системы необходимо, чтобы в пределе свободная составляющая Xd (t) стремилась к нулю, т. е. lim Xd (t) = 0 при t → ∞. Функция Xd (t) для линейной системы n-го порядка определяется как

где с1…сn – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями; λ1…λn – корни характеристического уравнения системы.

Из выражения (2.36) видно, что Хd (t) → 0 при t → ∞ только в том случае, если все n корней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Существуют косвенные методы определения отсутствия корней с положительной вещественной частью. Наиболее распространенными методами являются алгебраический и частотный критерии. В свою очередь, к наиболее распространенным частотным критериям относятся критерии Найквиста и Михайлова.

2.7.1. Критерий Найквиста

Данный критерий основан на рассмотрении АФЧХ разомкнутой системы, по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой системы. Амплитудно-фазочастотная характеристика W(j ) строится расчетным путем на основании выражения для W(P)

35

разомкнутой системы при замене P на j с изменением от 0 до . Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ W(j ) не охватывала точку с координатами (–1, j ) на вещественной оси.

На рис. 2.19 показан вид АФЧХ системы III порядка.

Рис. 2.19. Вид АФЧХ системы III порядка:

1 – неустойчивая; 2 – на границе устойчивости; 3 – устойчивая

2.7.2. Критерий Михайлова

Критерий основан на построении кривой Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы ω от 0 до , начиная с положительной вещественной оси, обошла последовательно в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки, все n квадрантов. При этом характеристическое уравнение представляют в виде суммы вещественной и мнимой частей, т. е.

Н (jω) = Х(ω) + jY(ω),

где Н (jω) = А(jω) + В(jω) в комплексном коэффициенте передачи

W (jω) = А(jω)/В(jω).

36

Придавая значения ω = 0…∞, определяем значения Х(ω) и Y(ω) и строим в координатах Y(X) кривую Михайлова. Так, для системы III порядка на рис. 2.20 построена кривая Михайлова.

Рис. 2.20. Кривая Михайлова для системы III порядка: 1 – устойчивая; 2 – на границе устойчивости;

3 – неустойчивая

Рассмотрим численный пример определения устойчивости системы III порядка.

Определение устойчивости системы III порядка по критерию Найквиста.

Имеется передаточная функция САР III порядка вида [1]

т. е. система содержит одно интегрирующее звено с коэффициентом передачи k и два последовательно включенных апериодических звена с постоянными времени Т1 и Т2. Примем k = 100, Т1 = 0,02 с

и Т2 = 0,1 с.

Для построения АФЧХ разомкнутой системы определяем модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи при замене оператора P на мнимую частоту jω, т. е.

Модуль комплексного коэффициента передачи

(2.38)

Аргумент W(jω) получен путем деления мнимой части W(jω) на вещественную с учетом того, что интегрирующее звено имеет постоянный фазовый сдвиг –ω/2. В итоге имеем: φ1 = –ω/2;

φ2 = –arctg 0,02ω; φ3 = – arctg 0,1ω.

Подставив значения ω = 0…∞ в выражения (2.38) и (2.39), получим величины модуля и аргумента для АФЧХ, значения которых приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

По полученным данным построена АФЧХ, вид которой показан на рис. 2.21.

38

Рис. 2.21. Амплитудно-фазочастотная характеристика

Амплитудно-фазочастотная характеристика охватывает точку с координатами (–1, j0), что соответствует неустойчивой системе.

Определение устойчивости системы III порядка по критерию Михайлова.

Имеется передаточная функция САР III порядка вида (2.37), но с другими значениями коэффициента k и постоянных времени Т1 и Т2, а именно: k = 58; Т1 = 0,01 с; Т2 = 0,57 с. Требуется определить устойчивость замкнутой САР. По критерию Михайлова устойчивость замкнутой САР определяется по ее характеристическому уравнению Д(P), т. е. суммой числителя и знаменателя:

Д(P) = P (1+Т1P) (1+Т2P) + k = Т1Т2P3 + (Т1 + Т2) P2 + P + k. (2.40)

Заменяем оператор P на мнимую частоту jω, выделяем вещественную и мнимую части:

Х(ω) = Re Д( jω) = k – (Т1 + Т2) ω2 = 58 – 0,58 ω2;

(2.41)

Y(ω) = Im Д( jω) = ω – Т1Т2ω3 = ω – 5,7 10–3ω3.

39

На рис. 2.22 показан годограф Михайлова, который последовательно в положительном направлении охватывает все три квадранта в координатах Y(ω) = f(Х(ω)), что для системы III порядка соответствует ее устойчивости.

Рис. 2.22. Годограф Михайлова

Из приведенных двух примеров видно, что для одной и той же системы ее устойчивость определяется значениями коэффициента передачи и показателями инерционности.

Практически задаются определенным запасом устойчивости по фазе и модулю и, исходя из этого запаса, рассчитывают параметры проектируемой системы.

40