Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Как уже отмечалось, система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (уравнения движения Эйлера) при рассмотрении установившегося потока в декартовых координатах имеет следующий вид:

Преобразуем данную систему уравнений, умножив первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz, и выполним почленное сложение полученных выражений. В результате имеем

(2.46)

Учитывая, что , и перегруппировав правую часть уравнения (2.46), получаем

(2.47)

Уравнение (2.47) можно проинтегрировать, введя следующие дополнительные условия:

– ускорение массовой силы имеет потенциал, т. е. существует такая функция U, при которой

– жидкость несжимаема, т. е. по всему потоку .

(2.50)

Третье слагаемое в уравнении (2.47) можно также преобразовать к виду

(2.51)

После проведенных преобразований дифференциальное уравнение (2.47) примет следующий вид:

(2.52)

Для несжимаемых жидкостей уравнение (2.52) можно представить как

(2.53)

Если дифференциал функции (выражение в скобках) равен нулю, то функция имеет постоянное значение, т. е.

(2.54)

При наличии гравитационного поля Земли и при вертикальном расположении оси z

; ;

В соответствии с принятыми дополнительными условиями (сформулированы выше) откуда Неопределенный интеграл этого выражения дает зависимость следующего вида:

(2.55)

где С – постоянная интегрирования.

Подставив найденное значение U в уравнение (2.55), получим

(2.56)

Разделив обе части уравнения (2.56) на g, приводим его к окончательному виду

(2.57)

Уравнение (2.57) получило название «уравнение (интеграл) Бернулли⁴» для установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости. Анализ этого уравнения показывает, что в различных сечениях элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия постоянна.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости устанавливает связь между скоростью движения, гидродинамическим давлением и геометрической высотой расположения частиц жидкости.

С величинами, входящими в уравнение (2.57), мы частично уже познакомились. В гидростатике сумма была названа удельной потенциальной энергией жидкости, где z – расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой частицы или до центра тяжести сечения, применительно к движению элементарной струйки и называется геометрической высотой, или удельной энергией положения; – пьезометрическая высота, или удельная энергия давления, – расстояние от центра тяжести живого сечения элементарной струйки до уровня жидкости в пьезометре.

Величина – удельная кинетическая энергия, или скоростной напор, имеет размерность длины.

Для измерения используется прибор, называемый гидродинамической трубкой. Он состоит из трубки, изогнутой под углом 90°, с выходным концом меньшего диаметра, чем сама трубка (рис. 2.14). Если такую трубку опустить в открытый поток и загнутый конец расположить навстречу движущейся жидкости, то в трубку войдет жидкость, уровень ее расположится выше свободной поверхности потока. Высота поднятия жидкости будет тем больше, чем больше скорость движения жидкости. По высоте можно определить скорость жидкости в месте расположения загнутого конца трубки, т. е. локальную скорость. Действительно, столб жидкости в трубке удерживается движущейся жидкостью со скоростью и, значит, скорость набегающего на трубку потока равна скорости истечения из трубки с высоты .

р₀

u

р₀

v

Рис. 2.14. Гидродинамическая трубка

Таким образом,

,

или

(2.58)

Если движение напорное (рис. 2.15), то для определения скоростного напора кроме гидродинамической трубки необходимо ввести пьезометр. Скоростной напор будет равен разности высот поднятия жидкости в гидродинамической и пьезометрической трубках. Следовательно, сумма

(2.59)

представляет собой полную удельную энергию жидкости в живом сечении элементарной струйки (см. рис. 2.15). Полная удельная энергия состоит из суммы удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии , т. е.

u

р

0

0

Рис. 2.15. Измерение локальной скорости при напорном движении

жидкости с помощью гидродинамической трубки и пьезометра

Уравнение Бернулли

(2.60)

утверждает постоянство полной удельной энергии идеальной жидкости при установившемся движении в пределах элементарной струйки. В этом заключается главный смысл данного уравнения, являющегося законом сохранения энергии применительно к движущейся жидкости (частный случай закона сохранения энергии М.В. Ломоносова).

Уравнение Бернулли связывает удельную потенциальную энер- гию жидкости с удельной кинетической энергией. Сумма их при движении жидкости неизменна, вследствие этого изменение одного вида энергии обязательно вызывает противоположное изменение другого. Так, если при движении жидкости уменьшается скорость, то и ее удельная кинетическая энергия уменьшается, следовательно, удельная потенциальная энергия должна возрастать на такую величину, на какую увеличивается удельная кинетическая энергия. Для горизонтального потока это следствие связывает гидродинамическое давление и скорость (рис. 2.16).

l

H

z₁

z₂

u₁

u₂

a

b

I

I

II

II

0

0

v

Рис. 2.16. Графическая интерпретация уравнения Бернулли

при движении идеальной жидкости в трубе переменного сечения

Можно сказать иначе: при напорном движении в потоке давление больше там, где меньше скорость, или, наоборот, давление меньше там, где больше скорость.

В гидравлике сумма называется гидродинамическим напором и обозначается буквой Н. Гидродинамический напор измеряется высотой столба движущейся жидкости и определяется расстоянием от плоскости сравнения до уровня жидкости, поднявшейся в гидродинамической трубке (см. рис. 2.15).

При установившемся движении идеальной жидкости гидродинамический напор в различных сечениях элементарной струйки остается неизменным. Учитывая, что все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины, его можно проиллюстрировать графически, изобразив изменение удельной потенциальной и удельной кинетической энергии (см. рис. 2.16). Для этого покажем величи- ны в двух сечениях потока идеальной жидкости относительно плоскости сравнения 0–0.

Из рис. 2.16 видно, что в сечении II–II вследствие увеличения размеров трубы произошло уменьшение скорости и, соответственно, уменьшение удельной кинетической энергии, а удельная потенциальная энергия увеличилась. Это наглядно видно по уровням жидкости в пьезометрах.

Изменение удельной потенциальной энергии по длине трубопровода изображается пьезометрической линией, или линией удельной потенциальной энергии. Это линия, соединяющая уровни жидкости в пьезометрах. Пьезометрическая линия может подниматься вверх или опускаться вниз в зависимости от изменения скорости в рассматриваемых сечениях. Наклон пьезометрической линии к горизонту характеризует пьезометрический уклон , который определяется по уравнению

, (2.61)

где l – расстояние между сечениями.

Величина может быть положительной и отрицательной. Положительному значению пьезометрического уклона отвечает понижение удельной потенциальной энергии вниз по течению, что имеет место при уменьшении площади живого сечения трубопровода. Отрицательному значению пьезометрического уклона отвечает повышение удельной потенциальной энергии вниз по течению идеальной жидкости. Такому случаю соответствует увеличение площади живого сечения трубопровода (см. рис. 2.16).

Величина гидродинамического напора Н при изменении кинетической энергии остается неизменной, она определяется положением уровня в гидродинамических трубках. Линия, соединяющая уровни в гидродинамических трубках, называется напорной линией, или линией полной удельной энергии. При движении идеальной жидкости напорная линия горизонтальна. Наклон напорной линии к горизонту характеризует гидравлический уклон i:

. (2.62)

При движении идеальной жидкости гидравлический уклон равен нулю (см. рис. 2.16, линия b).