Понятия о расходе и средней скорости потока
Основываясь
на струйной модели потока, представим
себе движение частиц жидкости в
горизонтальном трубопроводе. Далее
выделим в этом потоке произвольно
элементарную струйку, находящуюся на
некотором расстоянии у
от твердой стенки трубы, и рассмотрим
движение частиц, находящихся в данном
живом сечении струйки
,
в течение бесконечно малого промежутка
времени
(рис. 2.9). Так как эти частицы обладают
одинаковой скоростью, то путь, пройденный
ими, будет одинаков и равен
.
Таким
образом, за время
через площадь живого сечения струйки
пройдет объем жидкости
,
а в единицу времени пройдет объем
,
где
–
скорость
движения частицы жидкости.
Рис. 2.9. Эпюра локальных скоростей частиц
жидкости в элементарной струйке
Произведение
есть объемное количество жидкости,
прошедшей через живое сечение струйки
dS
в единицу времени dt;
оно называется объемным расходом
элементарной струйки и обозначается
dQ.
Элементарный расход dQ численно равен объему эпюры локальных скоростей, показанной на рис. 2.9. Объем эпюры представляет собой цилиндр с основанием dS и высотой и (длина вектора скорости).
Таким образом,
В соответствии со струйной моделью потока жидкости объемный расход через живое сечение трубопровода S
(2.15)
В потоке реальной жидкости скорость отдельных частиц по живому сечению различна и точный закон изменения скорости по сечению не всегда известен, поэтому вычисление полученного интеграла в ряде случаев затруднительно. Для упрощения решения этой задачи в гидравлике используется понятие средней скорости движения частиц данного живого сечения. Средняя скорость обозначается буквой v, она считается одинаковой для всех частиц данного сечения, но расход, вычисленный по ее значению, должен быть равен истинному расходу, т. е.
(2.16)
откуда величина средней скорости с учетом уравнения (2.15)
В дальнейшем под скоростью движения потока будем подразумевать именно среднюю скорость.
Объемный расход и среднюю скорость потока можно изобразить графически. Представим графически реальное распределение локальной скорости движения частиц вязкой жидкости по сечению потока, т. е. построим эпюру локальных скоростей (рис. 2.10, а).
Рис. 2.10. Эпюры:
а – локальной скорости; б – средней скорости
при напорном движении реальной
жидкости в трубопроводе
Очевидно, что за один и тот же промежуток времени частицы жидкости, обладая различными скоростями, пройдут разный путь и переместятся от рассматриваемого живого сечения до кривой, изображающей эпюру. Объем жидкости, расположенный между плоскостью сечения и поверхностью эпюры, будет, таким образом, представлять собой объемное количество жидкости, прошедшей через сечение в единицу времени, т. е. расход. Следовательно, объем эпюры скорости равен расходу потока. Предполагая, что все частицы перемещаются в сечении со средней скоростью v, мы допускаем, что путь, пройденный ими, будет одинаков. Тогда эпюра средней скорости будет иметь вид цилиндра высотой, равной величине вектора v (см. рис. 2.10, б). Объем эпюры средней скорости должен равняться объему эпюры локальных скоростей. В этом случае можно утверждать, что количество жидкости, прошедшей через сечение S, будет одинаково независимо от того, известен нам закон распределения локальных скоростей или нет. Так как средняя скорость v вычисляется для определенного живого сечения потока, то она часто называется средней скоростью по месту.
Правомерность уравнений (2.15) и (2.16), полученных выше, подтверждается теоретически уравнением неразрывности потока. Рассмотрим далее вывод этой чрезвычайно важной зависимости.