Траекторией движения жидкой частицы называется путь, пройденный этой частицей за некоторый промежуток времени.

Траектория будет определена, если мы знаем координаты x, y и z движущейся частицы для любого периода времени. Поэтому если известны составляющие скорости частицы по осям координат u_x, u_y и u_z, то уравнениями ее траектории будут

(2.4)

Более наглядное представление о поле скоростей движущейся жидкости можно получить, построив векторные линии этого поля, называемые в кинематике линиями тока (рис. 2.3).

В общем случае линия тока – это кривая линия, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

В случае установившегося движения линия тока представляет собой неизменную во времени траекторию, по которой частицы жидкости движутся одна за другой. В этой ситуации траектория и линия тока геометрически совпадают.

При неустановившемся движении линии тока и траектории движения частиц не совпадают, так как с течением времени будут меняться направления и скорости движения отдельных частиц жидкости.

Рис. 2.3. Схема построения линии тока

Совокупность линий тока дает более ясное представление о движении жидкости, чем поле векторов скоростей, так как могут быть составлены уравнения линий тока в отдельных участках пространства и, соответственно, дано математическое описание картины движения жидкости. Как было отмечено выше, линия тока определяет направление движения бесчисленного множества частиц жидкости, расположенных на ней в данный момент времени, поэтому полученная математическая модель линий тока определяет все движение жидкости в этот момент.

Для установившегося движения уравнением линии тока будет зависимость следующего вида:

. (2.5)

Из отношений (2.5) можно получить два независимых дифференциальных уравнения, которые называются дифференциальными уравнениями линии тока. Интегрируя их, можно получить два интеграла

представляющих собой при данном t два семейства поверхностей; пересекаясь, они дадут линии тока.

Введение понятия «линия тока» дает возможность наглядно представить картину локальных скоростей частиц в данном пространстве, через которое протекает жидкость.

Понятия элементарной струйки и трубки тока

Если в движущейся жидкости, в поперечном ее сечении, выделить элементарную площадку dS и через все точки, находящиеся внутри площадки и на ее границе, провести линии тока для данного момента времени, то получится объемный пучок линий тока, который

называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – трубкой тока (рис. 2.4).

u₁

dS

Рис. 2.4. Схема построения трубки тока

Для установившегося движения элементарная струйка обладает следующими свойствами:

– форма элементарной струйки с течением времени остается неизменной, так как линии тока при установившемся движении также постоянны и по форме;

– боковая поверхность элементарной струйки (трубка тока) непроницаема; частицы жидкости не входят и не выходят из эле-ментарной струйки, так как трубка тока сама состоит из линий тока, а к ним векторы скоростей направлены по касательной;

– локальные скорости частиц жидкости во всех точках поперечного сечения элементарной струйки одинаковы вследствие бесконечно малых размеров самой элементарной трубки.

Модель элементарной струйки используется при изучении движения жидкости в трубах и каналах конечных размеров. В основе этого изучения лежит струйная модель потока жидкости. Согласно этой модели, под потоком жидкости понимается совокупность элементарных струек жидкости, текущей в данном канале, т. е. поток конечных размеров состоит из определенного числа элементарных струек, движущихся в одном направлении. Если рассечь элементарную струйку плоскостью, перпендикулярной к направлению вектора скорости движения частиц в ней, то получим поверхность, которая называется живым сечением элементарной струйки dS.

В соответствии со струйной моделью потока жидкости весь поток состоит из элементарных струек. Тогда живое сечение потока S равно сумме живых сечений элементарных струек:

(2.6)

Длина линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с твердыми стенками канала (трубопровода), называется смоченным периметром П.

Свободная поверхность жидкости в расчет величины смоченного периметра не входит.

Отношение площади живого сечения S к смоченному периметру П называется гидравлическим радиусом R, т. е.

(2.7)

В гидравлике важное значение имеет понятие «плавно изменяющееся движение». Дадим определение этому понятию.

Плавно изменяющимся движением называется такое движение, при котором:

– кривизна элементарных струек невелика;

– угол расхождения между отдельными струйками мал;

– живые сечения потока плоские и перпендикулярны к оси потока.

Если внутри потока с плавно изменяющимся движением выделить частицу жидкости и, применив к ней принцип Даламбера, спроецировать все силы на плоскость живого сечения, то силы инерции будут направлены перпендикулярно плоскости живого сечения и в уравнение равновесия не войдут. Поэтому равновесие частицы жидкости в плоскости живого сечения ничем не будет отличаться от равновесия частицы, находящейся в абсолютном покое. Отсюда следует, что давление по живому сечению при плавно изменяющемся движении изменяется по основному уравнению гидростатики.

Все вышеизложенное позволяет подойти к новому понятию, которое в практической гидравлике имеет важное значение – к понятию «расход жидкости». Расход жидкости бывает массовым или объемным. Дадим определения этих понятий.

Объемным расходом жидкости называется объем жидкости,

протекающий через живое сечение потока в единицу времени.

Объемный расход обозначается буквой Q и имеет размерность в системе СИ – м³/с.

Массовым расходом жидкости называется масса жидкости,

протекающей через живое сечение потока в единицу времени.

Массовый расход обозначается буквой G и имеет размерность в системе СИ – кг/с.

Массовый и объемный расходы связаны между собой соотношением

. (2.8)

В гидравлике обычно используется понятие объемного расхода. Связано это с тем, что в данной дисциплине рассматриваются изотермические несжимаемые жидкости, а следовательно, плотность жидкости в процессе ее движения по трубопроводам и открытым каналам практически не меняется. При движении газов плотность может существенно изменяться, так как на ее величину заметное влияние могут оказывать даже небольшие изменения давления.

В соответствии с определением объемного расхода расход жидкости через живое сечение элементарной струйки можно записать как

(2.9)

Если рассматривать поток жидкости конечных размеров, например в трубопроводе, площадь поперечного сечения которого равна S, то объемный расход этого потока можно представить как сумму всех расходов через живые сечения всех элементарных струек, т. е.

(2.10)

Для потока идеальной жидкости решение интеграла (2.10) не представляет сложности, так как локальные скорости движения частиц жидкости во всех элементарных трубках будут одинаковы (u = const) и объемный расход может быть легко определен как

(2.11)

Для потока реальной жидкости решение интеграла (2.10) будет возможно, если будет известен закон распределения локальных скоростей по всему живому сечению потока. Далее этот вопрос будет рассмотрен более подробно.

Равномерное и неравномерное движение

Установившееся движение жидкости, т. е. движение, характеризующееся постоянством расхода по времени, можно подразделить на равномерное и неравномерное. Дадим определения этих понятий.

Равномерным движением потока жидкости называется такое

установившееся движение, при котором средняя скорость

и живые сечения не изменяются по длине потока.

Примером может служить установившееся движение в трубопроводе постоянного геометрического сечения.

Неравномерным движением потока жидкости называется

такое установившееся движение, при котором средняя скорость

и (или) живое сечение меняются по длине потока.

Примером может служить установившееся движение в трубопроводе переменного сечения. При движении в открытом канале (русле) неравномерное движение может возникать и в условиях постоянной площади живого сечения, если оно сопровождается изменением его формы. В этом случае изменяется величина гидравлического радиуса.

Виды потоков

Установившееся и неустановившееся движение, в свою очередь, может быть напорным, безнапорным и в виде гидравлической струи.

Напорным движением жидкости называется такое движение, которое происходит в закрытых трубопроводах при полном заполнении поперечного сечения трубы, т. e. при отсутствии в трубе свободной поверхности жидкости (рис. 2.5). Возникает напорное движение под влиянием разности давлений (движущая сила) в начале и конце трубопровода. Движение жидкости всегда направлено в сторону меньшего давления, т. е. в сторону уменьшения величины движущей силы.

Для круглой трубы диаметром d, в случае напорного движения (поперечное сечение полностью заполнено жидкостью), величина живого сечения определяется по уравнению

(2.12)

Очевидно, что величина гидравлического сопротивления движению в результате трения частиц жидкости о твердую (неподвижную) стенку трубопровода будет зависеть от площади поверхности, по которой жидкость соприкасается с ней.

Рис. 2.5. Напорное движение жидкости в горизонтальной трубе:

а – схема движения жидкости; б – поперечное сечение трубы

Для случая напорного движения жидкости величина смоченного периметра П определяется как

П = πd = 2πr, (2.13)

а гидравлического радиуса R

(2.14)

где r – геометрический радиус трубы, м.

Из уравнения (2.14) следует, что при напорном движении в круглых трубах гидравлический радиус равен половине геометрического радиуса трубы, по которой движется жидкость.

Движение в открытом канале, или безнапорное движе- ние, – это движение, при котором поток обладает свободной поверхностью. На свободной поверхности такого потока давление газовой фазы одинаково и может быть равно атмосферному давлению (движение воды в реках). Возникает движение в открытом канале под действием силы тяжести, т. е. при наличии геометрического уклона открытого канала (русла). Другим примером может служить движение жидкости в гидравлическом лотке или движение в трубе, когда сечение не полностью заполнено жидкостью.

Расчет значений живого сечения, смоченного периметра и гидравлического радиуса для случая безнапорного движения рассмотрим на следующем примере.

Пусть имеется трубопровод, заполненный жидкостью на три четверти своего поперечного сечения (рис. 2.6). В данном случае движущей силой будет являться разность удельных потенциаль- ных энергий Z₁ и Z₂, т. е. разность уровней расположения сечений I–I и II–II относительно горизонтальной поверхности 0–0. В любой точке потока в условиях гравитационного поля Земли возникает сила тяжести G: если ее разложить на две составляющие (G_н – нормальную по отношению к оси трубопровода и G_к – касательную), то становится очевидным, что сила G_к и определяет движение частиц в соответствующем направлении.

Рис. 2.6. Безнапорное движение жидкости в круглой трубе:

а – схема движения жидкости; б – поперечное сечение трубы

Определим величины S, П и R для этого случая. Величина живого сечения (площадь фигуры acb)

Смоченный периметр будет равен трем четвертям длины окружности (линия acb), т. е.

а гидравлический радиус

Движение жидкости в виде гидравлической струи – это движение частиц жидкости, ограниченное только газообразной или жидкостной средой. В качестве примера можно привести поток жидкости, вытекающей через отверстие или сопло под действием напора перед соплом. В свою очередь, гидравлические струи могут быть свободными и затопленными. Свободные струи жидкости движутся в газообразных средах (рис. 2.7); затопленные – в среде, из которой состоит сама струя, или в жидкости, плотность которой отличается от плотности струи (рис. 2.8).

Рис. 2.7. Движение жидкости в виде свободной струи:

а – истечение из вертикально расположенного сопла;

б – истечение из горизонтально расположенного сопла;

1 – сопло; 2 – свободная струя

Рис. 2.8. Движение жидкости в виде затопленной струи:

1 – затопленная струя жидкости плотностью ρ₁;

2 – окружающая затопленную струю жидкость плотностью ρ₂

(штрихом обозначены границы, определяющие

область движения жидкости в виде затопленной струи)

В нашем курсе в дальнейшем мы подробно остановимся на рассмотрении напорного движения жидкости в трубопроводах и каналах аппаратов и движения в виде свободных гидравлических струй.