Уравнение (2.90) есть закон распределения локальных скоростей частиц жидкости при ламинарном движении жидкости в трубопроводе круглого сечения.

Из уравнения (2.90) легко найти зависимость для расчета максимальной локальной скорости частиц жидкости, которые будут находиться на оси ламинарно движущегося потока.

На оси потока имеем r = 0 и u = u_max. Подставляя эти значения в уравнение (2.90), получим

. (2.91)

Опыт показал, что на поверхности твердой стенки трубы частицы под действием сил адгезии прилипают к этой поверхности и скорость движения их равна нулю, а на оси потока скорость частиц жидкости имеет максимальное значение. Из уравнения (2.91) видно, что скорость движения частиц жидкости зависит от вязкости и становится тем меньше, чем больше коэффициент вязкости. Увеличению скорости способствует увеличение гидравлического уклона, что, в свою очередь, зависит от перепада давления . Эпюра скорости представляет собой квадратичную параболу с вершиной на оси трубопровода (см. рис. 2.20, б).

Закон распределения локальной скорости частиц жидкости, движущейся в ламинарном режиме, можно представить в безразмерном виде. Разделим уравнение (2.90) на уравнение (2.91). В результате получим

(2.92)

Из уравнения (2.92) следует, что величина относительной скорости определяется только относительным положением частицы в плоскости живого сечения. Очевидно, что эпюра относительной скорости будет одинаковой для потока любой жидкости в круглом трубопроводе и не зависит от размеров трубы.

Теперь, установив закон изменения локальной скорости в сечении потока, можно определить его расход, т. е. перейти к решению второй задачи.

В общем случае, т. е. независимо от режима движения жидкости в трубопроводе, объемный расход

Для того чтобы применить найденный выше закон распределения локальных скоростей частиц жидкости по радиусу трубы, необходимо изменить в уравнении расхода переменную и пределы интегрирования. Площадь круга связана с радиусом известным соотношением или, переходя к бесконечно малым величинам, . В этом случае

(2.93)

Подставляя в уравнение (2.93) уравнение (2.90) – закон распределения локальных скоростей при ламинарном течении жидкости, получим

.

В полученном выражении произведем замены, выразив радиус трубопровода через его диаметр, гидравлический уклон – через потери напора по длине, а коэффициент динамической вязкости – через коэффициент кинематической вязкости ν, т. е.

; .

После подстановки и объединения всех численных значений в один коэффициент получим

. (2.94)

Уравнение (2.94) позволяет теоретически рассчитать расход жидкости, если она движется в трубопроводе круглого сечения и в ламинарном режиме. Это уравнение в классической гидравлике получило название формулы Пуазейля. Таким образом, решение второй задачи получено.

Решим третью задачу. Посмотрим, как связаны между собой средняя скорость потока и максимальная локальная скорость. Для этого вернемся к рис. 2.20, б. Мы теперь знаем, что эпюра локальной скорости в пространстве представляет собой параболоид вращения, а объем параболоида есть половина произведения площади основания S на его высоту. Высотой параболоида (для нашего рисунка) будет являться длина вектора скорости на оси трубопровода u_max. Отсюда следует

(2.95)

С другой стороны, из уравнения неразрывности потока следует

.

Приравнивая значения объемных расходов жидкости друг к другу и сокращая на S, получаем, что

. (2.96)

Отсюда следует важный вывод о том, что значение средней скорости потока жидкости, который движется в ламинарном режиме, равно половине максимальной локальной скорости на оси потока. Учитывая, что u_max можно измерить экспериментально, например с помощью гидродинамической трубки и пьезометра, определение средней скорости потока не представляет особой сложности. Более того, подставляя значение u_max из уравнения (2.91) в уравнение (2.96), получим зависимость для расчета средней скорости в виде

. (2.97)

Определим значение коэффициента кинетической энергии α в уравнении Бернулли (2.66), если оно применяется к потоку реальной жидкости, движущемуся в ламинарном режиме. Для этого воспользуемся уравнениями (2.64), (2.93) и (2.97):

(2.98)

Численное значение коэффициента кинетической энергии показывает, что при ламинарном режиме движения наблюдается достаточно неравномерное распределение локальных скоростей частиц в живом сечении потока. Это объясняется большим влиянием сил внутреннего трения.

Решим четвертую задачу – выведем уравнение для расчета потерь напора по длине при движении реальной жидкости в ламинарном режиме по трубопроводу круглого сечения. Для этого в качестве исходного положения воспользуемся уравнением (2.97), преобразовав его к виду

Далее с учетом известных закономерностей выполним замену коэффициента динамической вязкости μ на коэффициент кинематической вязкости ν и радиуса трубопровода r_тр на его диаметр d; после этого получим

Раскрывая понятие гидравлического уклона , получаем зависимость для определения h_дл:

(2.99)

Преобразуем выражение (2.99) следующим образом. Умножим числитель и знаменатель на 2v (удвоенную среднюю скорость) и сгруппируем параметры, как показано ниже:

. (2.100)

Уравнение

(2.101)

получило название «уравнение Дарси–Вейсбаха⁶» для определения потерь напора по длине.

Коэффициент λ, входящий в уравнение (2.101), есть коэффициент сопротивления трения по длине, или коэффициент Дарси. Он не имеет размерности.

В гидравлических расчетах трубопроводов коэффициент λ играет важную роль, так как учитывает влияние режима движения на потери напора по длине h_дл. Если вернуться к уравнению (2.100), то видно, что

(2.102)

Следует отметить, что уравнение (2.102) можно применять только к трубопроводам круглого сечения. В общем случае для каналов произвольной формы поперечного сечения более правомерной будет зависимость

(2.103)

где А – коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения канала, по которому движется жидкость.