Ламинарный режим движения
Ламинарный режим движения жидкостей возникает в условиях, когда силы внутреннего трения преобладают над силами инерции потока. В этом случае число Re потока меньше нижнего критичес-кого:
.
Следовательно, ламинарный режим характерен для движения жидкостей с большим коэффициентом вязкости. К таким жидкостям можно отнести машинное масло, сиропы и соки с большой концентрацией сахара, глицерин и т. д. Жидкости маловязкие, например вода, также могут течь при ламинарном режиме, но это имеет место при малом значении скорости и в каналах малого проходного сечения. В инженерной практике с ламинарным режимом движения воды приходится сталкиваться при проведении фильтрации, т. е. движении жидкости в пористых средах.
Рассмотрим основные закономерности движения при ламинарном режиме для каналов, часто встречающихся в практике инженера-механика. При этом сконцентрируем свое внимание на четырех основных задачах, а именно получим:
– закон распределения локальных скоростей по живому сечению ламинарного потока;
– уравнение для расчета объемного расхода жидкости;
– зависимость между средней скоростью потока и максимальной локальной скоростью движения частиц;
– уравнение для инженерных расчетов потерь напора по длине.
Равномерное движение в трубопроводе круглого сечения
Жидкость
движется в ламинарном режиме в
горизонтальном трубопроводе круглого
сечения. Выделим в потоке между I
и II
сечениями цилиндр жидкости радиусом
и длиной L,
расположенный соосно с трубопроводом
(рис. 2.23).
I II L
τ
р1
р2
I II
Рис. 2.23. Расчетная схема к выводу закона распределения
локальных скоростей при ламинарном движении
жидкости в трубопроводе круглого сечения
В
потоке действуют силы давления, силы
тяжести и силы внутреннего трения. Если
и
– единичное
давление на оси потока в I
и II
сечениях, τ – касательное напряжение
на поверхности выделенного цилиндра,
то уравнение равновесия сил можно
описать основным уравнением равномерного
движения (2.79):
,
(2.88)
где
i
– гидравлический
уклон,
R
–
гидравлический радиус,
rтр
– радиус трубы, м.
Решим первую, сформулированную выше, задачу. В основу наших рассуждений положим уравнение (2.88). По закону Ньютона для жидкостного трения (см. уравнение (1.9) [1]) при ламинарном режиме касательное напряжение пропорционально градиенту скорости, т. е.
,
(2.89)
где
– градиент скорости, отрицательный
знак поставлен по причине уменьшения
скорости по направлению радиуса.
Приравнивая величины касательного напряжения из основного уравнения равномерного движения (2.88) и по закону Ньютона (2.89) и разделяя переменные, получим дифференциальное уравнение
решение
которого дает закон изменения локальной
скорости жидкости в живом сечении
круглого трубопровода. Интегрируя левую
часть в пределах от 0 до u,
а правую – от
до
r,
получим
(2.90)
Уравнение (2.90) говорит о том, что скорость движения частиц в данном сечении ламинарного потока зависит от их местоположе-ния и изменяется прямо пропорционально квадрату радиуса, т. е. по закону квадратичной параболы. Таким образом,