ЛР№4ИО

Цель работы:

Исследование методов северо-западного угла, минимального элемента и Фогеля на примере решения транспортной задачи.

Задание.

Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах соответственно равных А1, А2, А3 единиц. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных В1, В2, В3, В4, В5 единиц. Затраты связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей С.

Составить план прикрепления потребителей к поставщикам, решить задачу тремя методами (северо-западный угол, минимального элемента, аппроксимации Фогеля), сделать вывод о том, какой из используемых методов является наиболее выгодным.

Решение.

1. Метод северо-западного угла

Шаг 1. Заполняем клетку A1B1. Полностью удовлетворим потребность потребителя B1 в размере 140 ед. После этого исключим из рассмотрения первый столбец. Запасы на предприятии А1 станут 180-140=40 ед.

Шаг 2. Заполняем клетку A1B2. Удовлетворим потребность потребителя B2 на величину, имеющуюся на предприятии A1, т.е. на 40 ед. После этого исключим из рассмотрения первую строку. Потребность на B2 станет 90-40=50 ед.

Шаг 3. Заполняем клетку A2B2. Удовлетворим оставшуюся потребность потребителя B2 в размере 50 ед. После этого исключим из рассмотрения второй столбец. Запасы на предприятии А2 станут 290-50=240 ед.

Шаг 4. Заполняем клетку A2B3. Полностью удовлетворим потребность потребителя B3 в размере 90 ед. После этого исключим из рассмотрения третий столбец. Запасы на предприятии А2 станут 240-90=150 ед.

Шаг 5. Заполняем клетку A2B4. Полностью удовлетворим потребность потребителя B4 в размере 110 ед. После этого исключим из рассмотрения 4-й столбец. Запасы на предприятии А2 станут 150-110=40 ед.

Шаг 6. Заполняем клетку A2B5. Удовлетворим потребность потребителя B5 на величину, имеющуюся на предприятии A2, т.е. на 40 ед. После этого исключим из рассмотрения вторую строку. Потребность на B5

станет 120-40=80 ед.

Шаг 7. Заполняем клетку A3B5. Удовлетворим оставшуюся потребность потребителя B5 в размере 80 ед. После этого исключим из рассмотрения пятый столбец. Запасы на предприятии А3 израсходованы, поэтому исключим 3-ю строку.

Таким образом, получаем опорный план задачи:

S=7·140+12·40+8·50+6·90+5·110+3·40+4·80=3390 д.е.

2. Метод минимального элемента

Шаг 1. Т.к. минимальный тариф С21=1, то заполняем клетку А2В1. Полностью удовлетворим потребность потребителя B1 в размере 140 ед. После этого исключим из рассмотрения первый столбец. Запасы на предприятии А2 станут 240-90=150 ед.

Шаг 2. Т.к. минимальный тариф С25=3, то заполняем клетку А2В5. Полностью удовлетворим потребность потребителя B5 в размере 120 ед. После этого исключим из рассмотрения пятый столбец. Запасы на предприятии А2 станут 150-120=30 ед.

Шаг 3. Т.к. минимальный тариф С13=4, то заполняем клетку А1В3. Полностью удовлетворим потребность потребителя B3 в размере 90 ед. После этого исключим из рассмотрения третий столбец. Запасы на предприятии А1 станут 180-90=90 ед.

Шаг 4. Т.к. минимальный тариф С24=5, то заполняем клетку А2В4. Удовлетворим потребность потребителя B4 на величину, имеющуюся в запасе на предприятии A3, т.е. на 30 ед. Запасы на предприятии A2 израсходованы, поэтому исключаем из рассмотрения 2-ю строку. Потребность на B4 равно 110-30=80 ед.

Шаг 5. Т.к. минимальный тариф С14=6, то заполняем клетку А1В4. Полностью удовлетворим оставшуюся потребность потребителя B4 в размере 80 ед. Таким образом, запасы на предприятии A1 станут 90-80=10 ед. Исключаем из рассмотрения 4-й столбец.

Шаг 6. Т.к. минимальный тариф С12=12, то заполняем клетку А1В2. Удовлетворим потребность потребителя B2 на величину, имеющуюся в запасе на предприятии A1, т.е. на 10 ед. Запасы на предприятии A1 израсходованы, поэтому исключаем из рассмотрения 1-ю строку. Потребность на B2 равно 90-10=80 ед.

Шаг 7. Удовлетворим оставшуюся потребность потребителя B2 в размере 80 ед. по тарифу С32=13. Запасы на предприятии A3 станут 80-80=0 ед. Исключаем из рассмотрения второй столбец и третью строку.

Таким образом, получаем опорный план задачи:

S=12·10+4·90+6·80+1·140+5·30+3·120+13·80=2650 д.е.

3. Метод аппроксимации Фогеля

Шаг 1. Наибольшая разность между двумя минимальными тарифами находится в 1-м столбце и она равна 5. Минимальный тариф в этом столбце С21=1, поэтому заполняем клетку A2B1. Полностью удовлетворим потребность потребителя B1. Таким образом, запасы на предприятии A2 станут 290-140=150 ед. Исключаем из рассмотрения 1-й столбец.

Шаг 2. Наибольшая разность между двумя минимальными тарифами находится в 2-м столбце и она равна 4. Минимальный тариф в этом столбце С22=8, поэтому заполняем клетку A2B2. Полностью удовлетворим потребность потребителя B2. Таким образом, запасы на предприятии A2 станут 150-90=60 ед. Исключаем из рассмотрения 2-й столбец.

Шаг 3. Наибольшая разность между двумя минимальными тарифами находится в 3-й строке и она равна 3. Минимальный тариф в этом столбце С35=4, поэтому заполняем клетку A3B5. Удовлетворим потребность потребителя B5 на величину, имеющуюся в запасе на предприятии A3, т.е. на 80 ед. Запасы на предприятии A3 израсходованы, поэтому исключаем из рассмотрения 3-ю строку. Потребление на B5 равно 120-80=40 ед.

Шаг 4. Наибольшая разность между двумя минимальными тарифами находится в 3-м столбце и она равна 2. Минимальный тариф в этом столбце С13=4, поэтому заполняем клетку A1B3. Полностью удовлетворим потребность потребителя B3. Таким образом, запасы на предприятии A1 станут 180-90=90 ед. Исключаем из рассмотрения 3-й столбец.

Шаг 5. Наибольшая разность между двумя минимальными тарифами находится в 5-м столбце и она равна 2. Минимальный тариф в этом столбце С25=3, поэтому заполняем клетку A2B5. Полностью удовлетворим оставшуюся потребность потребителя B5 в размере 40 ед. Таким образом, запасы на предприятии A2 станут 60-40=20 ед. Исключаем из рассмотрения 5-й столбец.

Шаг 6. Единственная оставшаяся разность между двумя тарифами находится в 4-м столбце и она равна 1. Минимальный тариф в этом столбце С24=5, поэтому заполняем клетку A2B4. Удовлетворим потребность потребителя B4 на величину, имеющуюся в запасе на предприятии A2, т.е. на 20 ед. Запасы на предприятии A2 израсходованы, поэтому исключаем из рассмотрения 2-ю строку. Потребление на B4 равно 110-20=90 ед.

Шаг 7. Полностью удовлетворим потребность потребителя B4 по тарифу, равному С14=6. Запасы на предприятии А1 станут равны 0.

Таким образом, получаем опорный план задачи:

S=4·90+6·90+1·140+8·90+5·20+3·40+4·80=2300 д.е.

Вывод:

Составили план прикрепления потребителей к поставщикам, решили задачу тремя методами (северо-западный угол, минимального элемента, аппроксимации Фогеля), и сделали вывод о том, что наиболее выгодным методом из представленных является метод аппроксимации Фогеля, поскольку он обеспечивает минимальные затраты 2300 д.е.