ИЭ / 2 семестр / Коллоквиум / 1ый коллок
.pdfДифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная и дифференциал
1. Понятие производной, ее геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Примеры. Физический смысл производной. Односторонние производные.
2. Производная степенной функции; частные случаи, общий случай.
3. Производные показательных, логарифмических и тригонометрических функций. 4. Понятие дифференцируемости функции в точке. Критерий дифференцируемости.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Примеры.
5. Правила вычисления производных. Производная сложной функции, правило «цепочки». Примеры. Производные гиперболических функций.
6.Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
7.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Таблица дифференциалов.
8.Правила дифференцирования функции. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
|
Основные теоремы дифференциального исчисления |
|
|
|
|
||
1. |
Понятие экстремума. Теорема Ферма и ее геометрический смысл. |
|
|
|
|
||
2. Теорема Ролля о корнях производной и теорема Лагранжа о конечных приращениях; их |
|
|
|||||
|
геометрический смысл. |
|
|
|
|
|
|
3. Теорема Коши. Производные высших порядков. Примеры. |
|
|
|
|
|||
4. Дифференциалы высших порядков. Свойства производных и дифференциалов высших |
|
|
|||||
|
порядков. Формула Лейбница. Примеры. |
|
|
|
|
||
5. Формула Тейлора для многочлена. Вывод формулы бинома Ньютона. |
|
|
|
|
|||
6. Формула Тейлора для произвольной функции. Постановка задачи и ее решение. Многочлен |
|
|
|||||
|
Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано. |
|
|
|
|
||
7. |
|
+ , и по формуле Маклорена. |
|
|
|
|
|
Разложение функций , |
|
|
|
|
|||
8. |
Разложение функции + |
по формуле Маклорена. Частные случаи: = −1, = |
1 |
, = |
1 |
. |
|
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
9. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Приближенные вычисления по формуле Тейлора. Оценка погрешности. Пример.
10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Примеры.
Исследование функций
1. Признак постоянства функции. Следствие. Признаки монотонности и строгой монотонности функции. Достаточные условия строгой монотонности функции. Примеры.
2. Понятие экстремума. Необходимые условия экстремума функции. Критические точки. Типы экстремумов. Примеры. Достаточные условия экстремума по первой производной.
3. Достаточные условия экстремума функции по второй производной и по старшим производным. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Примеры.
4. Понятия выпуклости и вогнутости функции, их геометрический смысл. Примеры.
4*. Условия выпуклости функции, выраженные неравенствами. Признак выпуклости функции по первой производной.
5.Признак выпуклости функции по второй производной. Условия выпуклости показательных, логарифмических и степенных функций. Точки перегиба графика функции, их отыскание.
6.Асимптоты графика функции; виды асимптот и способы их нахождения. Полное исследование функции и построение графика. Кривая Гаусса.
Подготовка к коллоквиуму.
В каждом билете будут 2 вопроса и одна задача. Задачи – на следующие темы:
-найти производную или дифференциал – го порядка для заданной функции;
-вычислить производную или дифференциал – го порядка по формуле Лейбница;
-написать формулу Тейлора для заданной функции;
-вычислить приближенное значение функции по формуле Маклорена ( = 3 или = 4)
иоценить погрешность, используя форму Лагранжа для остаточного члена;
Контрольные вопросы
1. Понятия непрерывности и дифференцируемости функции в точке.
2. Производная функции в точке и ее геометрический смысл.
3. Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл.
4. Таблица производных и таблица дифференциалов.
5. Правила вычисления производных и правила дифференцирования.
6. Формула Тейлора.
7. Разложение по формуле Маклорена функций:
= , = (1 + ), = , = , = 1 + α