МЛиТА. Работа №2. 10 вариант

А) Переименовать связанные переменные (если это необходимо), затем в полученной формуле указать

свободные и связанные переменные, определить длину формулы, привести данную формулу

( )

предикат: — четное число (причем оба предиката имеют

( , )

2

=

(равносильным образом) к приведенной нормальной форме, указать длину полученной формулы

чисел).

— предикат

, а

—

Б) Определить, выполнимы или нет эти формулы, если считать, что

интерпретацию целых неотрицательных

Решение.

(длина

( ) ( ) ( ) ( )

А) Переименование связанных переменных:

Связанные переменные:

и .

формулы: 5, знаки:

)

Так как

≡ ¬ , то предыдущая запись эквивалентна следующей:

Приведение формулы (

равносильным образом) к приведенной нормальной форме:

¬

¬ ( ) ( ) ≡

, то

( )¬ ( )

( )

— приведенная форма

Так как

( ()¬

( ) (6,)знаки:

)

следующей:

предыдущая( ) ( )запись(

эквивалентна) ( )

длина формулы:

( )( ) ¬(

( ) ( )

только в начале, поэтому

Приведенная форма нормальна, если она содержит кванторы ¬

Так как (по теореме 2) для любой приведенной формулы

¬

— приведенная нормальная форма

длина формулы: 6, знаки:

)

равносильная ей нормальная формула совпадает

по длине, то длина формулы определена правильно: длина приведенной 6, длина приведенной

нормальной тоже 6.

Б) Определение выполнимости.

( ) — предикат:

(оба нечетных числа( )( ) ¬ ( ) ( )

— четное число (т. е. принимает 1, если четное, или 0, если нечетное).

Пусть

= 1

и

= 1

(

— нечетное,

— четное),¬ ( )

( )

= 1 0 = 1

1 = 1

.

Пусть

= 1

и

= 0

(

), тогда

¬ ( ) ( ) = 1

.

=

= (

тогда

¬ ( )

( ) =

=

Пусть

= 0

= 0

— четное,

.

¬ ( ) ( ) = 0 1 = 1

— нечетное), тогда

Пусть

и

( )( )

.

оба четных числа), тогда

предикат

, причем интерпретация обоих

( , , )

=

( , , )

Задание № 50 (10 вариант, Коваленко Леонид, ИКПИ-81).

формулой + =

— предикат

и

—

Требуется с помощью заданных предикатов (а именно

предикатов — целые неотрицательные числа), записать

Б)

из ИП данные предложения (т. е. написать формулу из ИП, которая принимает значение 1,

2 + 3.

(2

+ 3 )

5

если предложение является верным и значение 0, если оно неверно).

В)

= 15

.

).

А)

делится на 5 (

= min{ , }

( , , )

( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( ) ( , , ) ≡

А)

( ) ( , , )

Решение.

=1

=2

=3

=3

=5

5=2 +3

=2

=2 +3

(2 +3)5

≡ ( )( ) ( , , ) ( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

( ) ( , , )

=1

=2

=3

=2

=3

=2 +3

=5

5=2 +3

Б)

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

(2 +3)5

=1

=2

=3

=5

=3 5=15

( , , ) ≡

В)

( ) ( , , )

( ) ( , , )

( , , )

( ) ( , , )

=1

+=

=

+=

=

≡

¬

≤

≤

≡

( ) ( , , )

( ) ( , , )

( , , )

¬ ( ) ( , , )

( , , )

=1

+=

=

+=

=

≡

≤

≤

≡

( ) ( , , )

( ) ¬ ( , , )

( , , )

( ) ¬ ( , , )

( , , )

(

)

=1

)

+=

=

+=

=

≡

(

≤

≤

, ,

=1

( ) ¬ ( , , )

( ) ¬ ( , , )

( ) ¬ ( , , )

( , , )

+=

+=

+=

=

≤ ≤

≤

0, т. к. не выполняется

( , , ) ≡

( ) ¬ ( , , )

( , , ) ( , , )

+=

=

=

=

≤

≡ ( ) ( , , )

( )

¬ ( , , ) ( , , )

( , , ) ¬ ( , , )

( , , )

( , , ) ≡

=1

+=

=

=

+=

=

=

≤

≤

≡ ( )( ) ( , , )

¬ ( , , ) ( , , )

¬ ( , , ) ( , , )

( , , )

( , , )

=1

+=

=

+=

=

=

=

≤

≤

=

lim ( ) = +∞

Решение.

Пусть

— произвольная фиксированная функция и имеет смысл предел

, тогда

по определению( )

lim ( ) = +∞ > 0 ( ) > 0: (0, ) ( ) >

предела

x→+0

x→+0

( , ): 0 < <

( , ): >

Интерпретация всех ( ): > 0

,

,

.

Введем предикаты:

А) ( )( )( ) ( )

( ) ( , ) ( , ) ≡

предикатов — множество вещественных чисел .

На языке предикатов:

≡ ( )( )( ) ( ) ( ) (¬ ( , ) ( , ))

( )

( )

lim ( ) = +∞

означает,

( , )

( , )

найдется такое

, что для любого

: и

, и

, и

lim ( ) = +∞

означает, что для любого

.

( )

( )

x→+0

, из которого следует

x→+0

или

( , )

.

¬ ( , )

что для любого

найдется такое

, что для любого

: и

, и

, и

Б) ¬ ( )( )( ) ( )

( ) ¬ ( , ) ( , ) ≡

На языке предикатов:

≡

( )( )( ) ¬ ( )

¬ ( ) ( , ) ¬ ( , )

¬ ( )

lim ( ) ≠ +∞

и

.

x→+0

или

( , )

¬ ( )

¬ ( , )

, что для любого найдется такое , что

или

означает, что существует такое