Теорема(t - компакты, шектік нүкте).
а) Центрленген жүйе
б) Компактылық және саналымды компактылық түсініктерін салыстыр (теорема)
Анықтама. Егер топологиялық кеңістігінің кез-келген ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болса,онда ол компактты кеңістік деп аталады.Мысалы, кез-келген ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінде әрбір шенелген тұйық жиын компактты болады.Ал түзу,жазықтық, компактты емес кеңістіктер.
Анықтама.Топологиялық кеңістігінің қайсыбір ішжиындарының жүйесі центрленген дейді,егер осы жүйенің элементтерінің кез-келген ақырлы қиылысуы бос емес жиын болса.
1-теорема. Топологиялық кеңістігі компактты болуы үшін төменгі (R) шарт қажет және жеткілікті:
(R):
кеңістігіндегі тұйық жиындардың әрбір
центрленген жүйесінің қиылысуы бос
емес
.
Анықтама. Егер топологиялық компактты кеңістігі Хаусдорф кеңістігі болса,онда ол компакт.
2-теорема. Компактты топологиялық кеңістігінің әрбір ақырсыз жиынының кемінде бір шектік нүктесі бар.
Дәлелі.
Егер кері жорып
компактты кеңістігінде ақырсыз жиын
бар десек, онда одан шектік нүктесі жоқ
саналымды жиын
десек, онда тұйық жиындардың центрленген
жүйесін аламыз.
(R)
қасиетін қанағаттандырмайды. Бұдан
-компактты
емес дегенге қайшылықты айтамыз.
Б) Саналымды базалы топологиялық кеңістіктерде саналымды компактылық пен компактылық қасиеттерінің біреуі орындалса екіншісіде орындалады, яғни бір-біріне пара-пар.
Дәлелі.
топологиялық кеңістіктің
ашық бүркеуі берілсін.
саналымды
базалы боғандықтан
ашық
бүркеуінен саналымды бүркеу бөлінеді.
саналымды компакты болса, онда саналымды ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінеді. Бұдан компакт жиын болғаны.
Сонымен ақырлы ішбүркеу бөлінді. компакт.
компакты болса,оның кез-келген ашық бүркеуінен (саналымды бүркеуден де) ақырлы ішбүркеу бөлінеді.
Дәлелденді.
Теорема (т – компакты, тұйық жиын)
а) Тұйық жиын
б) Компакт
Теорема. Компакты тұйық жиынның тұйық ішжиыны компакты.
Дәлелдеуі:
М компакты жиын,
тұйық жиын болсын. Онда толықтауыш жиын
CF ашық. Демек,
ішжиынның кез келген
ашық бүркеуі CF пен бірге M жиынының ашық
бүркеуі болады. Онда ком капты М жиынын
тастап,
жиыны үшін
бүркеуінен бөлінген ақырлы ішбүркеу
аламыз. Бұл
компакты болғаны, дәлелденді.
Қайсыбір Х жиыны берілсін. Осы Х жиынының төменгі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыратын G ішжиындарының жүйесін Х жиынының топологиясы деп атайды:
1.Х жиынының өзі де және бос жиын жиын екеуі де жүйесіне тиісті.
2. жүйесіне тиісті саны ақырлы, не ақырсыз G жиындарының бірігуі де да жатыр.
3. жүйесіне тиісті саны ақырлы G жиындарының қиылысуы де да жатыр.
А) жүйесіне тиісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
жиынының
толықтауышы
тұйық жиын деп аталады.
Б) Хаусдорф бөліктеу аксиомасын қанағаттандыратын компакты топологиялық кеңістікті компакт деп атаймыз.
аксиома(екінші
немесе Хаусдорф бөліктеу аксиомасы).
Топологиялық Т кеңістігінің кеңістігінің
кез келген әр түрлі екі х және у
нүктелерінің өзара қиылыспайтын
маңайлары бар.
аксиомасын
қанағаттандыратын кеңістіктер
немесе Хаусдорф кеңістіктері деп
аталады.