16. Теорема (оператор үзіліссіздігі).

а) Оператордың үзіліссіздігі мен топологиялардың байланысы (күштілік және әлсіздік)

б) Оператордың үзіліссіздігі және тұйық жиындар (теорема)

Х және Y топaлогиялық кеңістікте:

А операторы нүктесінде үзіліссіз дейді, егер маңайы үшін нүктесінің

А( ) маңайыңда мына шарт орындалса,

)<

Егер А оператор Х кеңістігіндегі барлық нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол үзіліссіз оператор деп аталады.

Бұл жолда оператордың үзіліссіздік қасиеті нүктенің маңайындағы қасиеті бойынша локаль қасиет ретінде берілген. Дегенмен, үзіліссіз қасиеттін тұйық жиындар тілінде де беруге болады:

Теорема:

тұйық жиынының түпбейнесі тұйық жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі: А үзіліссіз тұйық жиын

тұйықпа?

нүктесінің маңайы болады. А үзіліссіз оператор болғандықтан х нүктесінің маңайы табалып: қатынасы орындалады бұдан тұйық жиын.

Жеткіліктілігі: тұйық жиын тұйық жиын екені берілген. А операторы үзіліссіз бе?

нүктесінің маңайын алайық. шартты бойынша тұйық жиын және A үзіліссіз, кез келген маңайында.

топалогия болсын, түпбейнесі та топалогия болады.

Теореманы бұлай айтуғада болады:

Үзіліссіз болуы үшін А( тен күштірек болуы қажетті және жеткілікті.

17. Лемма ( )

а) Шектік нүктенің анықтамасы

б) Жанасу нүктесі, қасиеттері.

Лемма. кеңістігінің жиынына нүктесі шектік нүкте болу үшін, нүктесінің кез келген маңайынан жиынының саны ақырсыз нүктелері табылуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Жеткіліктілігі шектік нүктенің анықтамасынан көрініп тұр. Қажеттілігіне тоқталайық. Қайсыбір нүктесі жиынының шектік нүктесі болсын. Егер нүктесінің қайсыбір маңайында жиынының -тан басқа ( егер ) тек қана ақырлы нүктелері жататын болса, онда нүктесінің

маңайында жиынының ешбір нүктесі болмас еді. Бұл шектік нүкте дегенге қайшы.

Лемма дәлелденді.

а) нүктесі жиынының ( ) шектік нүктесі деп аталады, егер нүктесінің кез келген маңайынан жиынының -тің өзінен басқа кемінде бір нүкте табылса. Жиынның шектік нүктесі жиынның өзінде жатуы да, жатпауы да мүмкін. Мысалы, интервалының барлық ішкі нүктелерімен қатар, өзінде жатпайтын шет және нүктелері де оның шектік нүктелері.

б) нүктесі жиынының ( ) жанасу нүктесі деп аталады, егер нүктесінің кез келген маңайынан жиынының кемінде бір нүкте табылса. жиынының барлық жанасу нүктелерінің жүйесі жиынының тұйықталуы деп аталады. Оны деп белгілейміз. -нен -ге көшу тұйықталу амалының төменгі қасиеттері орындалады:

1)

2)

3) Егер болса, онда

4) .

18. Компактылық және центрленген жүйе, Теорема.

а) Салыстырмалы топология

б) Жиынның компактылығы

Анықтама. Егер топологиялық кеңістігінің кез-келген ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болса,онда ол компактты кеңістік деп аталады.Мысалы, кез-келген ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінде әрбір шенелген тұйық жиын компактты болады.Ал түзу,жазықтық, компактты емес кеңістіктер.

Анықтама.Топологиялық кеңістігінің қайсыбір ішжиындарының жүйесі центрленген дейді,егер осы жүйенің элементтерінің кез-келген ақырлы қиылысуы бос емес жиын болса.

Теорема. топологиялық кеңістігі компакты болуы үшін төменгі (R) шарт қажет және жеткілікті:

(R): Центрленген жүйе құрайтын кеңістігіндегі тұйық ішжиындардың қиылысуы бос емес .

Дәлелі. Қажеттілігі. компакт, оның тұйық ішжиындарының центрленген жүйесі болсын.Онда жиындары ашық болсын.Ешбір ақырлы қиылысуы бос емес болғандықтан,қосалқылық қасиетті пайдаланып, жиындарының ешбір ақырлы жүйесі кеңістігін бүркемейтіндігін аламыз. Онда жиындарының бәрі бірігіп те бүркемейді (егер бүркейтін болса, компакты болғандықтан, одан ақырлы ішбүркеу бөлінер еді). Бұл ,яғни (R) шарты орынды болғаны.

Жеткіліктігі. кеңістігінде (R) шарты орынды, оның кез-келген ашық бүркеуі болсын. Онда тұйық жиындары үшін . Яғни центрленген жүйе емес ((R) шартына қараңыз). Демек, болатын жиындары бар. Бұдан жиындары бүркеуінен бөлінетін ақырлы ішбүркеу екенін көреміз.Ендеше компакты.

Теорема дәлелденді.

а) Салыстырмалы топология

Анықтама. Қайсыбір жиыны берілсін. Осы жиынының төменгі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыратын ішжиындарының жүйесін жиынының топологиясы деп атайды:

1. жиынының өзі және бос жиын екеуі де жүйесіне тиісті.

2. жүйесіне тиісті саны ақырлы, не ақырсыз жиындарының бірігуі де да жатыр.

3. жүйесіне тиісті саны ақырлы жиындардың қиылысуы да жатыр.

жиыны мен оның топологиясының жұбын топологиялық кеңістік дейді.

Егер берілген жиынында әртүрлі топологиялар анықталса, онда сәйкесінше әртүрлі топологиялық кеңістіктер алынады. Осы жиынында және топологиялары берілсін. Демек, және екі топологиялық кеңістіктері алынады.

Егер жиындар жүйесі жүйесінің ішжиыны болса , онда топологиясы топологиясынан күштірек, ал топологиясы ден әлсізірек деп аталады.

б) Жиынның компақтылығы.

Метрикалық кеңістіктерде жиынның компактылығы түсінігін екі жолмен беруге болады. Оның бірі жиыннан жинақты тізбек бөлу мүмкіндігі арқылы, екіншісі жиынның бүркеуі арқылы. Ал, топологиялық кеңістіктерде негізгі топологиялық түсініктері тізбектің жинақтылығы бойынша беріле бермейді. Сондықтан топологиялық кеңістіктердегі жиынның компактылығының анықтамасы оның бүркеуге байланысты қасиеттерімен беріледі

Анықтама. топологиялық кеңістігінің жиыны компакты деп аталады, егер оның кез-келген ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болса. жиындар жүйесі ның бүркеуі деп аталады, егер . Егер берілген бүркеуден ішжиыны бөлініп, ол да болса, онда -ның ішбүркеуі деп аталады.