14. Топологияны анықтау жолдары.

а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)

б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта

Анықтама. Ашық жиындардың жүйесі Т кеңістігі топологиясының базасы базасы деп аталады, егер Т кеңістігіндегі әрбір ашық жиын жүйесі жиындарының (ақырлы не ақырсыз) бірігуі болса.

Сонымен Т кеңістігінде оның қайсібір базасы көрсетілсе, онда оның топологиясы анықталады, ол базасы жиындарының бірігулерінің жүйесі болады.

Төменгі қасиеттер топологиялық кеңістіктің кез келген базасына тән:

1. Әрбір нүктесі кемінде бір жиынына тиісті.

2. Егер болса, онда болатын жиыны табылады.

Шынында Х жиынының өзі топологиясына тиісті ашық жиын болғандықтан, ол базаға тиісті қайсыбір жиындардың бірігуі болады. Бұдан 1) қасиет шығады.Ал 2) пункттегі ашық жиын, сондықтан ол да базаға кіретін қайсыбір жиындардың бірігуі.Демек, 2) қасиет те орынды.

Керісінше, қандай болмасын Х жиыны беріліп, оның 1) және 2) қасиеттері бар ішжиындарының жүйесі болса,онда жүйесіне енген жиындардың бірігулерінен тұратын жиын Х та топология болатынын көру қиын емес.

Төменде саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер класының маңызын көреміз. Ондай кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.

Егер Т топологиялық кеңістікте саналымды база бар болса, онда барлық жерде тығыз саналымды жиын да табылатынына,демек, Т сеперабель кеңістік болатынына көз жеткізейік. дейік.Онда әрбір жиынынан бір нүктеден алып, саналымды жиынын құрастырамыз.Осы саналымды жиын барлық жерде тығыз болады. Болмаған жағдайда ашық жиынында -тың ешбір нүктесі табылмас еді. Бұл мүмкін емес, себебі ашық жиын ретінде базаның қайсыбір жиындарының бірігуі болар еді, ал .

Метрикалық кеңістіктер үшін дәлелденген сөйлемге кері сөйлем де орынды.

Егер М сеперабель метрикалық кеңістік болса, онда оның саналымды базасы бар. Шынында сеперабель кеңістікте барлық жерде тығыз саналымды жиын бар болғандықтан ашық шарлары саналымды база береді. Мұндағы , бір-бірінен байланыссыз натурал сандар. Бұл айтылғандардан төменгі теорема шығады.

Теорема. Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.

15. Топологиялық кеңістіктің метрикалануы.

а) П.С. Урысон теоремасы (дәлелсіз)

б) Нормаланған кеңістікте топологияны анықта

Кез келген топологияны метрика арқылы бере беруге болмайды.

Егер Т топологиялық кеңістіктің топологиясын қандай болмасын бір метрика арқылы анықтауға болатын болса, онда ол кеңістікті метрикаланады деп аталады.

Егер метрика бар болса, онда топология анықталады. Бірақ бұл универсал жол емес. Метрикалық кеңістік, нормаль кеңістікте бірінші саналымды аксиома орынды. Егер осы қасиеттің біреуі орындалмаса, онда ешбір топология анықталмайды.

а) Th.(Урысон теоремасы)

Саналымды базалы топологиялық Т кеңістігі метрикаланатын болу үшін оның нормаль кеңістік болуы қажет және жеткілікті

b)