Бейнелеу(оператор) үзіліссіздігі, анықтама, мысал.
а) Оператор үзіліссіздігі туралы теорема
б) Оператордың үзіліссіздігі және топология (теорема).
Х және Y топaлогиялық кеңістікте:
А
операторы
нүктесінде
үзіліссіз дейді, егер
маңайы
үшін
нүктесінің
А(
)
маңайыңда мына шарт орындалса,
)<
Егер А оператор Х кеңістігіндегі барлық нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол үзіліссіз оператор деп аталады.
Бұл жолда оператордың үзіліссіздік қасиеті нүктенің маңайындағы қасиеті бойынша локаль қасиет ретінде берілген. Дегенмен, үзіліссіз қасиеттін ашық жиындар тілінде де беруге болады:
Теорема:
ашық
жиынының түпбейнесі
ашық жиын болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі: А үзіліссіз ашық жиын
ашықпа?
нүктесінің
маңайы болады. А үзіліссіз оператор
болғандықтан х нүктесінің
маңайы табалып:
қатынасы орындалады
бұдан
ашық жиын.
Жеткіліктілігі:
ашық
жиын
ашық жиын екені берілген. А операторы
үзіліссіз бе?
нүктесінің
маңайын алайық.
шартты бойынша ашық жиые және
A үзіліссіз,
кез келген маңайында.
топалогия
болсын,
түпбейнесі
та
топалогия болады.
Теореманы бұлай айтуғада болады:
Үзіліссіз
болуы үшін
А(
тен
күштірек болуы қажетті және жеткілікті.
Гомеоморфизм.
а) Өзара гомеоморфты метрикалық кеңістіктерге мысал
б) Геоморфизм және кеңістіктердің топологиялық, метрикалық қасиеттері
Топологиялық кеңістіктер үшін де гомеоморфизм түсінігі пайдаланылады.
Егер
топологиялық кеңістігін
топологиялық кеңістігіне бейнелейтін
операторы өзара бірмәнді және өзара
үзіліссіз болса, онда
операторы гомеморфизм
деп аталады.
а) Өзара гомеоморфты метрикалық кеңістіктерге мысал.
Мысалы,
сандар түзуі мен
интервалы арасында
гомеоморфизм бар.
б) Гомеоморфты топологиялық кеңістіктердің топологиялық қасиеттері бірдей,сондықтан оларды бір кеңістіктің екі түрде берілуі деп қарастыруға болады.Кеңістіктердің гомеоморфты қатынасы рефлексивті,симметриялы және транзитивті.Бұдан топологиялық кеңістіктердің кез келген жүйесін өзара гомеморфты кеңістіктердің бір-бірімен қиылыспайтын кластарына бөлуге болады.
Метрикалық кеңістіктің берілген метрикасы осы кеңістіктің топологиясын бірмәнді анықтайды, бірақ кері сөйлем дұрыс емес: кеңістіктің берілген бір топологиясын осы кеңістікте анықталатын әр түрлі метрикаларда беруі мүмкін және өзара гомеоморфты екі метрикалық кеңістіктердің метрикалық қасиеттері әр түрлі болуы мүмкін. Мысалы, сандар түзуі мен интервалы арасында гомеоморфизм бар.Бірақ, түзу – толық кеңістік, - толық емес.
– Аксиома. Емес кеңістікке мысал.
а) кеңістіктегі шектік нүкте
б) кеңістіктегі ақырлы жиын
аксиомасы
(бірінші бөлектену аксиомасы): Т
топологиялық кеңістігінің қандай әр
түрлі
және
нүктелерін алсақ та,
нүктесінің
нүктесін қамтымайтын
маңайы,
нүктесінің
нүктесін қамтымайтын
маңайы бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер
-кеңістіктері
деп аталады.
кеңістігі болмайтын топологиялық
кеңістікке мысал – байланысқан екі
нүкте кеңістігі.
а)
акиомасын қанағаттандырмайтын
кеңістіктерде элементтерінің саны
ақырлы болатын жиындардың да шектік
нүктелері болуы мүмкін. Мысалы, байланысқан
қос нүкте кеңістігінде бір нүктеден
тұратын
жиынына
нүктесі шектік нүкте болады.
б)
кеңістігінің кез келген нүктесі тұйық
жиын болады: егер
болса, онда
нүктесінің қайсыбір
маңайы
нүктесін қамтымайды, демек
.
Бұдан
болатын шығады. Сондықтан
кеңістікте әрбір ақырлы жиын тұйық.