6. Бүркеу, ішбүркеу, мысал.

а) Компакты жиын, қасиеттері (теорема), компакт.

б) Хаусдорф кеңістігіндегі компакты жиын (теорема)

Ан. – жиындар жүйесі Х жиынының бүркеуі деп аталады, егер

Ан. Егер берілген бүркеуден ішжиын бөлініп, ол да өз адына Х-ті бүркейтін болса, онда жүйесі Х жиынының ішбүркеуі деп аталады.

Ан. Егер Т топологиялық кеңістігінің кез келген ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлуге болатын болса, Т компакты кеңістік деп аталады.

Th. Егер Т топологиялық кеңістігінде саналымды база бар болса, онда Т кеңістігінің кез келген ашық бүркеуінен ақырлы не саналымды ішбүркеу бөлуге болады.

Th. Топологиялық Т кеңістігі компакты болуы үшін төменгі шарт орындалуы қажет және жеткілікті:

Т кеңістігіндегі тұйық жиындардың әрбір центрленген жүйесінің қиылысуы бос емес. .

Дәлелі. Қажеттілігі. Т – компакты жиын. – тұйық центрленген жүйесі. – ашық жиынның шарты бойынша. Кез келген

⇒

– ашық бүркеу емес.

Т – компакты болғандықтан, – бүркеу болса, онда одан ақырлы ішбүркеу бөлінер еді. Яғни,

⇒

(R) – орынды.

Жеткіліктілігі. (R) – орынды. – тұйық.

– Т кеңістігінің кез келген ашық бүркеуі болсын.

Ендеше, болатын, – ақырлы тұйық жиындар бар.

⇒

– ақырлы бүркеу бөлінеді. Яғни, Т – компакты кеңістік.

Анықтама. Егер Т – компакты кеңістігі Хаусдорф кеңістігі болса, онда ол компакт болады.

Th. Компакт өзін қамтитын кез келген Хаусдорф кеңістігінде тұйық.

Дәлелі. К – компакт, – Хаусдорф. үшін оның маңайы және y нүктесінің маңайы табылып, және (K-ны бүркейді), К компакты болғандықтан, бүркеуден ақырлы бүркеу бар, болатындай. y нүктесінің маңайын айтамыз және

7. Тізбектердің жинақтылығы.

а) Жанасу нүктесі және бірінші саналымдылық аксиомалы Т кеңістігі.

б) Жанасу нүктесіне жинақталатын тізбегі жоқ кеңістікке мысал

Т топологиялық кеңістігінің элементтерінен тұратын тізбек жинақты деп аталады, егер нүктелерінің кез келген маңайында белгілі бір номерден бастап, тізбектің барлық элементтері жататын болса.

Берілген анықтаманың бізге белгілі метрикалық кеңістіктегі тізбектің жинақтылығының анықтамасынан өзгешелігі жоқ. Дегенмен, топологиялық кеңістіктегі жинақтылықтың маңызды қасиеттері метрикалық кеңістіктегідей емес.

нүктесі жиынының жанасу нүктесі деп аталады, егер нүктесінің кез келген маңайынан жиынының кемінде бір нүктесі табылса.

Метрикалық кеңістікте нүктесі жиынының жанасу нүктесі болуы үшін, нүктесіне жинақталатын жиынынан тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті. Ал кез келген топологиялық кеңістікте жанасу нүктесіне жинақталатын тізбек болмауы да мүмкін.

Мысалы: . Осы жиында өзінен және ден саны ақырлы не саналымды нүктелерді алып тастағнда шығатын ішжиындардың бәрін ашық деп алсақ, онда топология шығады.

Кеңістікте (топологиялық, метрикалық) әрбір нүктесінің саналымды жиын болатын маңайларының жүйесі бар. Және осы нүктесін қамтитын кез келген ашық жиыны үшін болатын ашық шар табылады.

Осындай қасиеті бар маңайлар жиыны нүктесінің маңайларының анықтауыш жүйесі деп аталады. Маңайларының анықтауыш жүйесі бар нүктесінде бірінші саналымдылық аксиомаларының қасиеті орынды. Егер бірінші саналымдылық аксиомаларының қасиеті Т топологиялық кеңістігінің әрбір нүктесінде орындалсағ онда Т – бірінші саналымдылық аксиомалары қасиетті топологиялық кеңістік деп аталады.