- •Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
- •Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
- •Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
- •Саналымды базалы т кеңістігі және ашық бүркеу (теорема)
- •Бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысалы
- •Бүркеу, ішбүркеу, мысал.
- •Тізбектердің жинақтылығы.
- •Бейнелеу(оператор) үзіліссіздігі, анықтама, мысал.
- •Гомеоморфизм.
- •– Аксиома. Емес кеңістікке мысал.
- •– Аксиома. Хаусдорф кеңістігі мысал
- •– Аксиома
- •– Аксиома, мысал
- •Топологияны анықтау жолдары.
- •Топологиялық кеңістіктің метрикалануы.
- •Теорема (оператор үзіліссіздігі).
- •Лемма ( )
- •Компактылық және центрленген жүйе, Теорема.
- •Теорема(t - компакты, шектік нүкте).
- •Теорема (т – компакты, тұйық жиын)
- •Теорема (Компактты жиынның ішжиыны).
- •Теорема (Хаусдорф кеңістігіндегі компакты жиын).
- •Теорема (Компакт және нормаль кеңістік).
- •Теорема (Компакты жиынның үзіліссіз бейнесі).
- •Теорема (Хаусдорф кеңістігіне өзара бірмәнді үзіліссіз бейне).
- •Сызықтық топологиялық кеңістіктер, лемма (нөлдің маңайлары).
- •Саналымды нормалы кеңістіктер, мысалдар.
- •Саналымды Гильберт кеңістіктері, мысал.
- •Теорема (стк - тің нормалануы), дәлелсіз
- •Саналымды базалы t – кеңістікте б.Ж. Тығыз жиынды көрсет.
- •Метрикалық кеңістікте топология базасын тұрғыз.
- •Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақты болатын топология анықта
- •Бірінші саналымдылық аксиомалы т-кеңістіктерінің қасиеті.
- •Ақырлы жиынның шектік нүктесі болатын т – кеңістікке мысал.
- •Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістікті көрсет а) Хаусдорф аксиомасы, Хаусдорф кеңістігіне мысал.
- •Регуляр болмайтын Хаусдорф кеңістігіне мысал келтір.
- •Нормаль кеңістікке мысал келтір.
- •Локаль дөңес кеңістік, мысал
- •Лемма. Стк-дегі жиынның шенелгендігі.
- •Лемма. Стк х Хаусдорф кеңістігі болу үшін
- •Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал (теорема)
- •Компакты кеңістіктегі ақырсыз жиын (теорема)
- •Компакты кеңістіктегі тұйық жиын (теорема)
- •Хаусдорф кеңістігіндегі компакт. (теорема)
- •Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі (теорема)
- •Бөлектеу аксиомасы орынсыз кеңістікті көрсет?
- •Регуляр емес Хаусдорф кеңістігін анықта.
- •Сеперабель кеңістік, мысалдар.
- •Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақталатын топология келтір.
- •Жанасу нүктесіне жинақты тізбек болмайтын т – кеңістік тұрғыз.
- •Ақырлы жиын тұйық болатын т – кеңістік қандай?
- •Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістік тұрғыз
- •Жанасу нүктесіне жинақты тізбек табылмайтын т – кеңістікке мысал келтір.
- •Сеперабель кеңістіктер, қасиеттері, мысалдар.
- •Кеңістік болмайтын кеңістік тұрғыз
Бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысалы
а) Саналымды база, қасиеттері
б) Метрикалық кеңістіктер және саналымдылық аксиомалары
Метрикалық M кеңістігінің әрбір x нүктесі үшін оның ашық шарлардан тұратын маңайлардың саналымды U жүйесін тұрғызуға болады. Сонда нүктесін қамтитын қандай ашық G жиын алсақта, осы G жиынында түгел жататын x нүктесінің маңайы табылады. Осындай қасиеттери бар маңайлардың жүйесі x нүктесінің маңайларының анықтауыш жүйесі деп аталады.
Егер Т топологиялық кеңістігінің x нүктесінің маңайларының саналымды анықтауыш жүйесі бар болса, онда осы нүктеде бірінші саналымдылық аксиома орынды дейді. Егер ол топологиялық Т кеңістігінің әр нүктесінде орындалса онда Т бірінші саналымдылық аксиомалы кеңістік деп аталады.
Кез келген метрикалық кеңістікте (сеперабль болмасада) бірінші саналымдылық аксиома орындалады. Ал кез келген топологиялық кеңістікте, егер ол тек қана саналымды нүктелерден тұрса да, бірінші саналымдылық аксиома орынды болмауы мүмкін. Топологиялық сеперабль кеңістікте бірінші саналымдылық аксиома орынды болса да, саналымды база болмауы мүмкін.
Төменде саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер класының маңызын көреміз.Ондай кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.
Егер T топологиялық кеңістікте саналымды база бар болса,онда барлық жерде тығыз саналымды жиын да табылытынына,демек, T сеперабель кеңістік болатынына көз жеткізейік. - саналымды база дейік.Онда әрбір жиынынан бір xn нүктеден алып,X = саналымды жиынын құрастырамыз.Осы саналымды жиын барлық жерде тығыз болады. Болмаған жағдайда G = T - ашық жиынында X-тың ешбір нүктесі табылмас еді.Бұл мүмкін емес,себебі G ашық жиын ретінде базаның қайсыбір жиындарының бірігуі болар еді,ал xn
Метрикалық кеңістіктер үшін дәлелденген сөйлемге кері сөйлем де орынды.
Егер M-сеперабель метрикалық кеңістік болса,онда оның саналымды базасы бар.Шынында сеперабель кеңістікте барлық жерде тығыз X = саналымды жиын бар болғандықтан S ашық шарлары саналымды база береді.Мұндағы n,m бір бірінен байланыссыз натурал сандар.Осыдан төменгі теорема шығады.
1-теорема.Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелі. Метрикалық кеңістік топологиялық кеңістік болғандықтан, егер саналымды базисі бар болса, онда метрикалық кеңістік сепарабель болатындығы жоғарғы топологиялық кеңістік айтылғанынан шығады. Сонымен барлық сеперабель метрикалық кеңістіктер екінші саналымдылық аксиомалы кеңістіктер болды.
Х-метрикалық кеңістігінде саналымды барлық жерде тығыз N={ } жиыны бар дейік, яғни ( ) ⇒ S( ), n,m- кез келген натурал сандар, ашық шарлар жүйесі саналымды базис болады.
Метрикаық кеңістіктер сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішжиыны бар топологиялық кеңістік сеперабель кеңстік деп аталады.