Кеңістік болмайтын кеңістік тұрғыз
аксиомасы(бірінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктері деп аталады.
аксиомасы(екінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің кез-келген әртүрлі екі нүктелерінің өзара қиылыспайтын және маңайлары бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктері немесе Хаусдорф кеңістіктері деп аталады. Әрбір Хаусдорф кеңістігі кеңістігі болады, кері сөйлем дұрыс емес.
Мысалы, кесіндісін алып, оның өзі және бос жиынмен қатар осы кесіндіден саны ақырлы, не саналымды жиын құрайтын нүктелерді алып тастағанда шығатын жиындарды ашық деп алсақ, онда кеңістік болмайтын кеңістік шығады.
С[a,b]-үзіліссіз функциялар кеңістігіндегі компакты жиындар.
Мысал.
түрінде берілген,
функциялар үшін M
жиыны
аз компакт болады ма?
Мұндағы,
,
.
Шешімі: x(t) функциялардың жиыны C[0,1] кеңістікте аз компакт екенін көрсетейік. Ол үшін Арцель теоремасын пайдаланамыз.
М-нен
алынған кез келген функция болсын. Онда
барлық
үшін:
Осылайша, М жиыны бірқалыпты шенелген.
Енді
М тең дәрежелі үзіліссіз екенін
көрсетейік.
үшін
.
Онда
және
үшін:
Демек, М жиыны С[0,1]- де аз компакт.