- •Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
- •Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
- •Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
- •Саналымды базалы т кеңістігі және ашық бүркеу (теорема)
- •Бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысалы
- •Бүркеу, ішбүркеу, мысал.
- •Тізбектердің жинақтылығы.
- •Бейнелеу(оператор) үзіліссіздігі, анықтама, мысал.
- •Гомеоморфизм.
- •– Аксиома. Емес кеңістікке мысал.
- •– Аксиома. Хаусдорф кеңістігі мысал
- •– Аксиома
- •– Аксиома, мысал
- •Топологияны анықтау жолдары.
- •Топологиялық кеңістіктің метрикалануы.
- •Теорема (оператор үзіліссіздігі).
- •Лемма ( )
- •Компактылық және центрленген жүйе, Теорема.
- •Теорема(t - компакты, шектік нүкте).
- •Теорема (т – компакты, тұйық жиын)
- •Теорема (Компактты жиынның ішжиыны).
- •Теорема (Хаусдорф кеңістігіндегі компакты жиын).
- •Теорема (Компакт және нормаль кеңістік).
- •Теорема (Компакты жиынның үзіліссіз бейнесі).
- •Теорема (Хаусдорф кеңістігіне өзара бірмәнді үзіліссіз бейне).
- •Сызықтық топологиялық кеңістіктер, лемма (нөлдің маңайлары).
- •Саналымды нормалы кеңістіктер, мысалдар.
- •Саналымды Гильберт кеңістіктері, мысал.
- •Теорема (стк - тің нормалануы), дәлелсіз
- •Саналымды базалы t – кеңістікте б.Ж. Тығыз жиынды көрсет.
- •Метрикалық кеңістікте топология базасын тұрғыз.
- •Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақты болатын топология анықта
- •Бірінші саналымдылық аксиомалы т-кеңістіктерінің қасиеті.
- •Ақырлы жиынның шектік нүктесі болатын т – кеңістікке мысал.
- •Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістікті көрсет а) Хаусдорф аксиомасы, Хаусдорф кеңістігіне мысал.
- •Регуляр болмайтын Хаусдорф кеңістігіне мысал келтір.
- •Нормаль кеңістікке мысал келтір.
- •Локаль дөңес кеңістік, мысал
- •Лемма. Стк-дегі жиынның шенелгендігі.
- •Лемма. Стк х Хаусдорф кеңістігі болу үшін
- •Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал (теорема)
- •Компакты кеңістіктегі ақырсыз жиын (теорема)
- •Компакты кеңістіктегі тұйық жиын (теорема)
- •Хаусдорф кеңістігіндегі компакт. (теорема)
- •Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі (теорема)
- •Бөлектеу аксиомасы орынсыз кеңістікті көрсет?
- •Регуляр емес Хаусдорф кеңістігін анықта.
- •Сеперабель кеңістік, мысалдар.
- •Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақталатын топология келтір.
- •Жанасу нүктесіне жинақты тізбек болмайтын т – кеңістік тұрғыз.
- •Ақырлы жиын тұйық болатын т – кеңістік қандай?
- •Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістік тұрғыз
- •Жанасу нүктесіне жинақты тізбек табылмайтын т – кеңістікке мысал келтір.
- •Сеперабель кеңістіктер, қасиеттері, мысалдар.
- •Кеңістік болмайтын кеңістік тұрғыз
Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістік тұрғыз
аксиомасы(бірінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктері деп аталады.
аксиомасы(екінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің кез-келген әртүрлі екі нүктелерінің өзара қиылыспайтын және маңайлары бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктері немесе Хаусдорф кеңістіктері деп аталады. Әрбір Хаусдорф кеңістігі кеңістігі болады, кері сөйлем дұрыс емес.
Мысалы, кесіндісін алып, оның өзі және бос жиынмен қатар осы кесіндіден саны ақырлы, не саналымды жиын құрайтын нүктелерді алып тастағанда шығатын жиындарды ашық деп алсақ, онда Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістік шығады.
Жанасу нүктесіне жинақты тізбек табылмайтын т – кеңістікке мысал келтір.
Т топологиялық кеңістігінің элементтерінен тұратын тізбегі нүктесіне жинақты дейді, егер нүктесінің кез келген маңайыда белгілі бір нөмерден бастап тізбектің барлық элементтері жататын болса.
Метрикалық кеңістікте нүктесі М жиынының жанасу нүктесі болу үшін нүктесіне жинақталатын М жиынынан тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Кез келген топологиялық кеңістікте жанасу нүктесіне жинақталатын тізбек болмауы да мүмкін.
Мысалы: болсын, осы жиында және өзінен саны ақырлы және саналымды нүктелерден тұратын жиындарды алып тастағанда шығатын ашық жиындар деп алсақ Т шығады.
жиынның топологиясы деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын ішжиындарынын жүйесін айтады:
а) өзі және тиісті болу керек;
б) тиісті G жиындардың қаншасынында (саны ақырлы, ақырсыз) бірігуі
в) тиісті жиындардың кез келген ақырлы қиылысуы
Біздің алған жиын осы шарттарды қанағаттандырады.
Rn - Евклид кеңістігіндегі компакты жиындар
-Евклид кеңістігінде әрбір шенелген тұйық жиын компакт жиын болады.
Анализде Гейне- Борель леммасының маңызы зор:
R-де [a,b] кесіндісін бүркейтін интервалдардың кез келген жүйесінен ақырлы іш бүркеу бөліп алуға болады. Демек [a,b] кесіндісі компакт жиын болады.
Сеперабель кеңістіктер, қасиеттері, мысалдар.
натурал сандар жиынымен өзара бірмәнде сәйкесте боладтын жиын саналымды жиын деп аталады.
Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, метрикалық кеңістігі сеперабель кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның элементіне жинақталатын іштізбек бар, тізбек табылса, яғни және үшін болатын элементі бар (1) тізбек бар болса.
Мысалдар. 1) Евклид кеңістігі сеперабель кеңістік. Мұнда координаталары рационал сандар болатын нүктелердің жиыны саналымды және де барлық жерде тығыз екені белгілі.
2) сеперабель кеңістік. Қандай алсақ та кез келген үшін
болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын көпүшелігі табылып
болады. Сондықтан
. Ал коэффициенттері рационал болатын көпмүшеліктердің жиыны саналымды екені белгілі.
3) Кез келген саны және кез келген берілсін. Онда болатын n нөмірі табылады.
олғандықтан, болатын табылады.
Сонда немесе түріндегі тізбектердің жиыны саналымды.
4) . Осы кесіндісінде үзіліссіз функциялардың жиыны де барлық жерде тығыз екені нақты анализден белгілі. Ал коэффициенттері рационал сандар болатын көпмүшеліктердің жиыны да барлық жерде тығыз (2-мысал) және саналымды. Бұдан осындай көпмүшеліктердің жиыны де де барлық жерде тығыз екенін көреміз.