51. Сеперабель кеңістік, мысалдар.

натурал сандар жиынымен өзара бірмәнде сәйкесте боладтын жиын саналымды жиын деп аталады.

Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, метрикалық кеңістігі сеперабель кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның элементіне жинақталатын іштізбек бар, тізбек табылса, яғни және үшін болатын элементі бар (1) тізбек бар болса.

Мысалдар. 1) Евклид кеңістігі сеперабель кеңістік. Мұнда координаталары рационал сандар болатын нүктелердің жиыны саналымды және де барлық жерде тығыз екені белгілі.

2) сеперабель кеңістік. Қандай алсақ та кез келген үшін

болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын көпүшелігі табылып

болады. Сондықтан

. Ал коэффициенттері рационал болатын көпмүшеліктердің жиыны саналымды екені белгілі.

3) Кез келген саны және кез келген берілсін. Онда болатын n нөмірі табылады.

олғандықтан, болатын табылады.

Сонда немесе түріндегі тізбектердің жиыны саналымды.

4) . Осы кесіндісінде үзіліссіз функциялардың жиыны де барлық жерде тығыз екені нақты анализден белгілі. Ал коэффициенттері рационал сандар болатын көпмүшеліктердің жиыны да барлық жерде тығыз (2-мысал) және саналымды. Бұдан осындай көпмүшеліктердің жиыны де де барлық жерде тығыз екенін көреміз.

52. Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақталатын топология келтір.

дейді,егер – нүктесінің кез келген маңайында -тізбегінің болса.

Дәлелі:

53. Жанасу нүктесіне жинақты тізбек болмайтын т – кеңістік тұрғыз.

Т топологиялық кеңістігінің элементтерінен тұратын тізбегі нүктесіне жинақты дейді, егер нүктесінің кез келген маңайыда белгілі бір нөмерден бастап тізбектің барлық элементтері жататын болса.

Метрикалық кеңістікте нүктесі М жиынының жанасу нүктесі болу үшін нүктесіне жинақталатын М жиынынан тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.

Кез келген топологиялық кеңістікте жанасу нүктесіне жинақталатын тізбек болмауы да мүмкін.

Мысалы: болсын, осы жиында және өзінен саны ақырлы және саналымды нүктелерден тұратын жиындарды алып тастағанда шығатын ашық жиындар деп алсақ Т шығады.

жиынның топологиясы деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын ішжиындарынын жүйесін айтады:

а) өзі және тиісті болу керек;

б) тиісті G жиындардың қаншасынында (саны ақырлы, ақырсыз) бірігуі

в) тиісті жиындардың кез келген ақырлы қиылысуы

Біздің алған жиын осы шарттарды қанағаттандырады.

54. Ақырлы жиын тұйық болатын т – кеңістік қандай?

аксиомасы (бірінші бөліктену аксиомасы).

T топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі және нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.

аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер -кеңістіктер деп аталады.

кеңістігінің кез келген нүктесі тұйық жиын болады: егер болса, онда нүктесінің қайсыбір маңайы нүктесін қамтымайды, демек, . Бұдан болатыны шығады. Сондықтан кеңістікте әрбір ақырлы жиын тұйық. Және, керісінше, кез келген ақырлы жиын тұйық болатын аксиомасы орынды болатынын көруге болады.