Хаусдорф кеңістігіндегі компакт. (теорема)
Теорема. Хаусдорф кеңістігінде кез келген бикомпакты жиын тұйық.
Дәлелдеуі.
Т
Хаусдорф кеңістігінің бикомпакты М
жиынының өзінде жатпайтын
шектік нүктесі бар дейік. М
жиынынан кез келген х
нүктесін алайық. Онда Хаусдорф бөлектеу
аксиомасы бойынша
шартын қанағаттандыратын өзара
қиылыспайтын
(
ашық жиындар табылады. {
aшық жиындар жүйесі М
жиынын
бүркейді. М
бикомпакты болғандықтан, оны бүркейтін
ақырлы ішбүркеу
бөілнеді:
. Онда
ашық жиыны М
жиынымен қиылыспайды. Екінші жағынан,
М
үшін
шектік нүкте болғандықтан
ашық жиында М-нің (
-ден
өзге) қайсыбір х
нүктесі болу керек. Бұл қайшылық М
тұйық жиын екенін көрсетеді. Дәлелденді.
Хаусдорф бөлектеу аксиомасын қанағаттандыратын бикомпакты топологиялық кеңістікті бикомпакт деп атаймыз. Сонымен бикомпакт Хаусдорф кеңістігі болады.
Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі (теорема)
Теорема 1. Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі компакт болады.
Дәлелдеуі. Х – компакты топологиялық кеңістік. A:X Y осы кеңістікте анықталған үзіліссіз оператор.
Дәлелдеу керек: А(Х) – компакты?
{ } – A(X) – ашық бүркеуі болсын.
Ақырлы ішбүркеу болатынын көрсету
А- үзіліссіз оператор болғандықтан әрбір - ашық жиынның түпбейнесі
= ( ) X ашық жиын, { } X-тың ашық бүркеуі болады.
Себебі { } ашық бүркеу
Шарт бойынша Х-компакт болғандықтан }- ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөліп алуға болады. { } j=
A( ) = j= жиындары A(X)-тің ақырлы ішбүркеуі болады. A(X)-тің { } ашық бүркеуінен { }ақырлы ішбүркеу бөлінеді
A(X)- компакт жиын болғаны.
Бөлектеу аксиомасы орынсыз кеңістікті көрсет?
аксиомасы(бірінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.
аксиомасын
қанағаттандыратын кеңістіктер
кеңістіктері
деп аталады.
аксиомасы(екінші бөлектену аксиомасы):
Т топологиялық кеңістігінің кез-келген әртүрлі екі нүктелерінің өзара қиылыспайтын және маңайлары бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктері немесе Хаусдорф кеңістіктері деп аталады. Әрбір Хаусдорф кеңістігі кеңістігі болады, кері сөйлем дұрыс емес.
Мысалы,
кесіндісін алып, оның өзі және бос
жиынмен қатар осы кесіндіден саны
ақырлы, не саналымды жиын құрайтын
нүктелерді алып тастағанда шығатын
жиындарды ашық деп алсақ, онда
бөлектеу
аксиомасы орынсыз
кеңістік
шығады.
Регуляр емес Хаусдорф кеңістігін анықта.
Кез келген регуляр кеңістік Хаусдорф кеңістігі де болады, бірақ регуляр болмайтын Хаусдорф кеңістіктері де бар.
бөлектену аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер Хаусдорф кеңістіктері деп аталады.
бөлектену аксиомасы: Топологиялық Т кеңістігінің кез келген әртүрлі екі және нүктелерінің өзара қиылыспайтын және маңайлары бар.
Регуляр кеңістік емес болуы үшін ол кеңістік регулярлық шарттарды қанағаттандырмау керек. Ал және аксиомаларын қанағаттандыратын кеңістіктер регуляр кеңістіктер деп аталады.
аксиомасы: Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі және нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы , нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.
аксиома: Кез келген нүкте және оны қамтымайтын тұйық жиынның өзара қиылыспайтын маңайлары бар. Жиынның маңайы деп оны қамтитын кез келген ашық жиынды айтамыз.
Регуляр кеңістік болмайтын Хаусдорф кеңістігіне мысал мынадай:
. Мұнда ашық жиындар: ден басқа нүкте маңайы кәдімгі мағынада (интервалды) аламыз. Ал 0-ң маңайы деп жарты интервалынан тізбегінің нүктелерін алып тастағанда қалған жиындарды айтамыз.
тұйық: .
0 нүктесінен -тұйық жиын ажыратылмайды (бөлінбейді).