Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
Анықтама.
Егер
кеңістікте барлық жерде тығыз болатын
саналымды жиын бар болса, онда ондай
кеңістік сеперабель
кеңістік
деп аталады. Басқаша айтқанда,
метрикалық кеңістігі сеперабль кеңістік
деп аталады, егер осы кеңістікте, оның
элементіне жинпқталатын іштізбегі бар,
тізбек
табылса, яғни
және
үшін
болатын
элементі бар
тізбек
бар болса.
Мысал:
C[a,b]
- сеперабель
кеңістік.
Қандай
алсақ та кез келген
үшін
болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс
теоремасы бойынша табылады. R нақты
сандар кеңістігінде рационал сандар
жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері
рационал болатын
көпмүшелік табылып
болады. Сондықтан
.
Ал коэффициенттері рационал болатын
көпмүшеліктердің жиыны саналымды.
а)
Метрикалық
M кеңістігінің әрбір x нүктесі үшін оның
ашық шарлардан тұратын маңайлардың
саналымды U жүйесін тұрғызуға болады.
Сонда
нүктесін қамтитын қандай ашық G жиын
алсақта, осы G жиынында түгел жататын x
нүктесінің маңайы
табылады. Осындай қасиеттери бар
маңайлардың жүйесі x нүктесінің
маңайларының
анықтауыш жүйесі
деп аталады.
Егер Т топологиялық кеңістігінің x нүктесінің маңайларының саналымды анықтауыш жүйесі бар болса, онда осы нүктеде бірінші саналымдылық аксиома орынды дейді. Егер ол топологиялық Т кеңістігінің әр нүктесінде орындалса онда Т бірінші саналымдылық аксиомалы кеңістік деп аталады.
Кез келген метрикалық кеңістікте (сеперабль болмасада) бірінші саналымдылық аксиома орындалады. Ал кез келген топологиялық кеңістікте, егер ол тек қана саналымды нүктелерден тұрса да, бірінші саналымдылық аксиома орынды болмауы мүмкін. Топологиялық сеперабль кеңістікте бірінші саналымдылық аксиома орынды болса да, саналымды база болмауы мүмкін.
б) Ашық жиындардың жүйесі Т кеңістігі топологиясының базасы деп аталады егер Т кеңістігіндегі әрбір ашық жиын жүйесі жиындарының ақырлы не ақырсыз бірігуі болса. Саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.
Саналымды базалы т кеңістігі және ашық бүркеу (теорема)
а) Байланысты кеңістік, мысал.
б) сеперабель кеңістік және саналымды база (теорема)
Теорема. Егер Т-топологиялық кеңістігінде саналымды база бар болса, онда Т-кеңістігінің кез келген ашық бүркеуінен ақырлы не саналымды ішбүркеу бөлінеді.
Дәлелі:
жиындар жүйесі Т-ның бүркеуі болсын.
Онда кез келген
оны қамтитын кемінде бір
жиыны табылады, яғни
-Ткеңістігінің
саналымды базасы дейік. Онда кез келген
үшін қамтитын кемінді бір
жиын табылады, яғни
Мұндай
жиындардың саны ақырлы не саналымды
болуы мүмкін және бұл жиынның жүйесі
бүркейді.
Жалпы топологиялық кеңістік Сеперабель кеңістік болып, онда бірінші саналымды аксиома орындалса да кеңістіктің саналымды базисы болмауы мүмкін .
Топологиялық
кеңістіктің анықтамасы бойынша
кеңістіктің өзі,
әрі ашық, әрі тұйық болатын басқа
(
)жиындар
жоқ болса, ондай кеңістің байланысты
кеңістік деп аталады.
Енді
әрбір
іш жиыны болмайтын жиын
-деп
бнлгілесек , онда
, онда
, яәни бастапқы берілген ашық бүркеудегі
ақырлы не саналымды жиындардан тұратын
ішбүркеу
1-теорема.Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелі. Метрикалық кеңістік топологиялық кеңістік болғандықтан, егер саналымды базисі бар болса, онда метрикалық кеңістік сепарабель болатындығы жоғарғы топологиялық кеңістік айтылғанынан шығады. Сонымен барлық сеперабель метрикалық кеңістіктер екінші саналымдылық аксиомалы кеңістіктер болды.
Х-метрикалық кеңістігінде саналымды барлық жерде тығыз N={ } жиыны бар дейік, яғни ( ) ⇒ S( ), n,m- кез келген натурал сандар, ашық шарлар жүйесі саналымды базис болады.
Метрикаық кеңістіктер сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішжиыны бар топологиялық кеңістік сеперабель кеңстік деп аталады.