Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал (теорема)
Теорема 1. Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі компакт болады.
Дәлелдеуі. Х – компакты топологиялық кеңістік. A:X Y осы кеңістікте анықталған үзіліссіз оператор.
Дәлелдеу керек: А(Х) – компакты?
{ } – A(X) – ашық бүркеуі болсын.
Ақырлы ішбүркеу болатынын көрсету
А- үзіліссіз оператор болғандықтан әрбір - ашық жиынның түпбейнесі
= ( ) X ашық жиын, { } X-тың ашық бүркеуі болады.
Себебі { } ашық бүркеу
Шарт бойынша Х-компакт болғандықтан }- ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөліп алуға болады. { } j=
A( ) = j= жиындары A(X)-тің ақырлы ішбүркеуі болады. A(X)-тің { } ашық бүркеуінен { }ақырлы ішбүркеу бөлінеді
A(X)- компакт жиын болғаны.
Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал
Теорема 2. Компакты Х топологиялық кеңістігінен R-нақты сандар жиынына көшіретін үзіліссіз функционал өзіне ең жоғарғы және ең томенгі мәндерін қабылдайды.
Дәлелдеу. Теорема1 бойынша Х компакты кеңістігінің үзіліссіз f функциясы бойынша мәні f(x) R R нақты сан өсінде шенелген тұйық жиын компакты жиын болады.
R мат.анализден білетініміздей шенелген тұйық жиынын ең кіші ең үлкен элементтері немесе мәндері бар.
Бұл f функциясы шенелген және өзінің ең үлкен, ең кіші мәндерін қабылдайды
Компакты кеңістіктегі ақырсыз жиын (теорема)
Анықтама. Егер Т компакты кеңістігі Хаусдорф кеңістігі болса, онда Т кеңістігін компакт кеңістік деп аталады.
Теорема. Компакты Т кеңістігінің әрбір ақырсыз жиынының кемінде бір шектік нүктесі бар.
Егер кері жорып, шектік нүктесі жоқ ақырсыз жиын бар десек, онда одан шектік нүктесі жоқ, саналымды жиын бөлінеді.
X={ }
жиын,онда
тұйық жиындардың центрленген {
}
жүйесін аламыз. Бұл жиын {n} қасиетін
қанағаттандырмайды. Бұдан Т компакт
емес деген қайшылық аламыз.
Компакты кеңістіктегі тұйық жиын (теорема)
Теорема. Компакты тұйық жиынның тұйық ішжиыны компакты.
Дәлелдеуі: М компакты жиын, тұйық жиын болсын. Онда толықтауыш жиын CF ашық. Демек, ішжиынның кез келген ашық бүркеуі CF пен бірге M жиынының ашық бүркеуі болады. Онда ком капты М жиынын тастап, жиыны үшін бүркеуінен бөлінген ақырлы ішбүркеу аламыз. Бұл компакты болғаны, дәлелденді.
Қайсыбір Х жиыны берілсін. Осы Х жиынының төменгі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыратын G ішжиындарының жүйесін Х жиынының топологиясы деп атайды:
1.Х жиынының өзі де және бос жиын жиын екеуі де жүйесіне тиісті.
2. жүйесіне тиісті саны ақырлы, не ақырсыз G жиындарының бірігуі де да жатыр.
3. жүйесіне тиісті саны ақырлы G жиындарының қиылысуы де да жатыр.
жүйесіне тиісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
жиынының толықтауышы тұйық жиын деп аталады.
Хаусдорф бөліктеу аксиомасын қанағаттандыратын компакты топологиялық кеңістікті компакт деп атаймыз.
аксиома(екінші немесе Хаусдорф бөліктеу аксиомасы). Топологиялық Т кеңістігінің кеңістігінің кез келген әр түрлі екі х және у нүктелерінің өзара қиылыспайтын маңайлары бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер немесе Хаусдорф кеңістіктері деп аталады.