Локаль дөңес кеңістік, мысал
а) Жиынның орнықтылануы
б) Нөлдің маңайының орнықтылануы маңай бола ма?
Егер сызықтық топологиялық кеңістікте нөлдің дөңес, орнықты және жұтушы жиындардан тұратын маңайларының базасы бар болса, онда локаль дөңес кеңістік деп аталады. Мысалға кез келген сызықтық нормаланған кеңістіктер локаль дөңес кеңістіктер болады. Және қолданыстағы маңызды кеңістіктер әлбетте локаль лөңес болып табылады
а)Қандай
болмасын
жиынының орнықтылануы деп
жиынын
айтады. Әрине, егер
иорнықты
жиын болса, онда
.
Егер
ашық жиын болса, онда әрбір
үшін
ашық болғандықтан,
-де
ашық жиын.
б)Нөлдің
кез келген
маңайын орнықтыласақ, онда
болғандықтан, оның
орнықтылануы да нөлдің маңайы болады.
Лемма. Стк-дегі жиынның шенелгендігі.
а) Жұтушы жиын, мысал.
б) Тізбектің жинақтылығы
Лемма.
Сызықтық топологиялық X кеңістігінің
M жиыны шенелген болуы үшін кез-келген
{
}
тізбегімен кез-келген нөлге ұмтылатын
{
}
сандар тізбегі үшін
болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелдеуі.(Қажет)
М
жиынын шенелген дейік.Және {
}
,
,
нөлдің кез-келген u маңайы берілсін, оны
орнықты жиын деп есептейміз, одан
жағдайдың жалпылылығы кемімейтіні
белгілі. Мұндағы {
}
шенелген жиын болғандықтан,
болғанда барлық n үшін
болады. Шарт бойынша
,
сондықтан жеткілікті үлкен
нөмері табылып, барлық
болады. Онда барлық
үшін
Бұл
(Жеткілікті).
М шенелген дейік. Онда М жиынның ешбір
гомотетиясын қамтитын нөлдің
маңайы
табылады.Бұл жағдайда
нүктесі
жатпайды.
.
Сонда
, ал
кез-келген n
үшін
.
Бұл
{
}
тізбегінің
нөлге ұмтылмайтындығы. Сонымен егер M
шенелген жиын болса, онда {
}
және
жағдайда лемманың шарты орындалмайды.
Бұдан, егер лемманың шарты орындалса,
онда М шенелген болатынын көреміз.
Лемма дәлелденді.
а) Жұтушы жиын мысал
А
жұтушы жиын дейді, егер
нүктесі
болатын
үшін
болса.
u
.
0-дің маңайы деп,қайсыбір u
жиынын қамтитын кез-келген бос емес М⊂Т
жиынын айтады. Бұл жағдайда0-дің кез-келген
маңайы жұтушы жиын болады.
Лемма. Стк х Хаусдорф кеңістігі болу үшін
а) Нөл нүктесінің маңайлары (СНК).
б) Хаусдроф аксиомасы
Лемма.
СТК Х Хаусдорф (
бөлектену аксиомасын қанағаттандыратын)
кеңістігі болуы үшін кез келген
нүктесі үшін, осы х нүктесін қанағ-н
нөлдің u маңайы табылуы, яғни нөлдің
маңайларының кез кедген V базасы үщін
теңдігі орындалуы қажет және жеткілікті.
Дәлелдеуі.
Қажеттілік дәлелдеуді керек етпейді.
Жеткіліктілігі.
кеңістігінің
нүктелерін алайық. Онда
және
нөлдің
нүктесін қамтымайтын маңайы болсын:
.
Енді
шартын қанағаттандыратын нөлдің
орнықты маңайын аламыз. Сонда
.
Егер
және
жиындары қиылысатын болса, онда
теңдігі орындалатындай
нүктелері табылар еді. Сонда
болар еді, бұл қайшылық.
1`-анықтама. жиыны торологиялық кеңістік деп аталады, егер төмендегі шарттар орындарлса.
II`. кеңістігінде төмендегідей қасиеттері бар бос емес ішжиындардың жүйесі берілген.
Әрбір орнықты және жұтушы жиын;
Кез-келген үшін табылып,
Әрбір үшін табылып, болады.
Әрбір орнықты жиынында нөлдік элемент бар . V жүйесінің жиындары сызықтық топологиялық Х кеңістігінде нөлдің маңайлары деп аталады.
Х сызықтық топологиялық кеңістігінің х нүктесінің маңайы деп нөлдің маңайы түріндегі жиынды айтад. Сонымен нөлдің маңайын х-қа жылжытып, х нүктесінің маңайын аламыз.
1-лемма. Нөлдің кез келген маңайының ішжиыны болатыг нөлдің ашық маңайы бар.
► Нөлдің кез келген маңайы берілсін. маңайы болатын нүктелерінің жиынын дейік. Осы бос емес: . Енді ашық екенін көрсету үшін кез келген нүктесін қарастырайық. Алуымыз бойынша жиыны нүктесіне маңай болады, онда , мұндағы нөлдің маңайы. II` аксиома бойынша болатын нөлдің маңайы бар. Онда нүктесінің маңайы кез келген нүктесі үшін . Бұдан жиыны нүктесінің маңайы болатынын көреміз, сондықтан , демек, . Бұл ашық болғаны. Жоғарыда көрсеткендей және .◄
2-лемма. Нөлдің маңайының кез келген , 𝜆 , гомотетиясыда нөлдің маңайы болады.
► Нөлдің маңайы берілген. Онда болатын маңайы табылады. II` aксиома бойынша болатын нөлдің маңайы бар. Және болатындықтан . Сол сияқты болатын аламыз. Сонда болады. Осы процесті жалғастыра беріп, болатын жеткілікті үлкен, n-ретте таңдап, болатын етеміз. Мұндағы орнықты жиын болғандықтан, . Онда . Бұл 𝜆u нөлдiң маңайы болғаны◄
б)
бөліктеу
аксиома (екінші н/е Хаусдорф аксиома)
Т
топологиялық кеңістігінің әрбір әртүрлі
x
және
y
(х
у)
нүктесінің
өзара қиылыспайтын
маңайлары бар.
Бұл аксиоманы қанағаттандыратын кеңістік Хаусдорф ккеңістігі немесе кеңістігі деп аталады.
кеңістігі кеңістігі болады керісінше кеңістігі бола бермейді.