Хаусдорф кеңістігі болмайтын кеңістікті көрсет а) Хаусдорф аксиомасы, Хаусдорф кеңістігіне мысал.
б) Нүктенің маңайы (СТК-те).
Хауосдорф кеңістігі болмайтын кеңістігіне мысал:
кеңістігін
алайық. Онда ашық жиындар деп
және
кеңістігінен
саналымды жиыннан аспайтын жиындарды
алып тастағанда шығатын барлық ішжиындарды
алсақ, онда ол
кеңістігі болады.
А)
Хауосдорф
аксиомасы.
Т топологиялық кеңістігінің әртүрлі
және
нүктелерінің өзара қиылыспайтын
маңайлары бар. Яғни,
және
нүктелерінің маңайларының қиылысуы
бос емес:
Хауосдорф аксиомасын бөлектеу аксиомасы депте атайды.
Хауосдорф
кеңістігіне мысал: Жалпы регуляр
кеңістіктер Хауосдорф кеңістігі
болады.Ал кері жағдайда орындалмайды.
Мысалы ретінде
кеңістігін,
нөлден басқа маңайын алайық, кәдімгі
мағынада интервалдар.
жарты интервалында
тізбегінің нүктелерін алып тастағанда
қалған жиындарды алсақ, онда ол
кеңістігі, яғни Хауосдорф кеңістігі
болады.
Б)
Анықтама. СТК-те
x-нүктесінің маңайы деп
(
нөлдің
маңайы) түріндегі
жиынын айтады. Яғни
-нүктесінің маңайы дегеніміз
-нүктесіне жылжытылған нөлдің маңайын
айтады.
Ал жалпы СТК анықтамасын берсек.
Анықтама.
элементтер жиын берілсін.Осы
Х жиынын СТК дейміз,егер
Х- сызықтық кеңістік болса;
Х-топологиялық кеңістіңһк болса;
Бұл кеңістік сызықтық және топологиялық қасиеттері бір бірімен үйлесімді байланыста болса.
Регуляр болмайтын Хаусдорф кеңістігіне мысал келтір.
а) Регуляр кеңістік
б) - бөлектену аксиомасы
Регуляр кеңістік болмайтын Хаусдорф кеңістігіне мысал мынадай:
. Мұнда ашық жиындар: ден басқа нүкте маңайы кәдімгі мағынада (интервалды) аламыз. Ал 0-ң маңайы деп жарты интервалынан тізбегінің нүктелерін алып тастағанда қалған жиындарды айтамыз.
тұйық: .
0 нүктесінен -тұйық жиын ажыратылмайды (бөлінбейді).
а) және аксиомаларын қанағаттандыратын кеңістіктер регуляр кеңістіктер деп аталады.
аксиомасы: Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі және нүктелерін алсақ та, нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы , нүктесінің нүктесін қамтымайтын маңайы бар.
аксиома: Кез келген нүкте және оны қамтымайтын тұйық жиынның өзара қиылыспайтын маңайлары бар. Жиынның маңайы деп оны қамтитын кез келген ашық жиынды айтамыз.
б) бөлектену аксиомасы: Топологиялық Т кеңістігінің кез келген әртүрлі екі және нүктелерінің өзара қиылыспайтын және маңайлары бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер кеңістіктер немесе Хаусдорф кеңістіктері деп аталады.
Нормаль кеңістікке мысал келтір.
а) бөлектену аксиомасы
б) Хаусдорф кеңістігі болмайтын -кеңістікке мысал.
Жалпы
метрикалық кеңістіктер нормаль
кеңістіктер болады. Мысалы
кеңістіктері R- метрикалық кеңістігіндегі
өзара қиылыспайтын тұйық жиындар болсын.
Онда
нүктесінің
-пен қиылыспаитын маңайы бар.
нүктесінің
тегі қашықтығы оң:
Тұйық жиында анықталған үзіліссіз функциялардың әрқашанда экстремумдары бар, демек:
ашық
жиындары сәйкесінше
тұйық жиындарын қамтиды. Сонда
А)
бөлектену
аксиомасы. Т
топологиялық кеңістігінің
әртүрлі екі тұйық жиындардың өзара
қиылыспайтын маңайлары бар.
бөлектену аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктерді нормаль кеңістіктер деп атайды.
Б) Хауосдорф кеңістігі болмайтын кеңістігіне мысал:
кеңістігін алайық. Онда ашық жиындар деп және кеңістігінен саналымды жиыннан аспайтын жиындарды алып тастағанда шығатын барлық ішжиындарды алсақ, онда ол кеңістігі болады.