35. Бірінші саналымдылық аксиомалы т-кеңістіктерінің қасиеті.

а) Маңайлардың анықтауыш жүйесі

б) Жанасу нүктесі

Метрикалық M кеңістігінің әрбір x нүктесі үшін оның ашық шарлардан тұратын маңайлардың саналымды U жүйесін тұрғызуға болады. Сонда нүктесін қамтитын қандай ашық G жиын алсақта, осы G жиынында түгел жататын x нүктесінің маңайы табылады. Осындай қасиеттери бар маңайлардың жүйесі x нүктесінің маңайларының анықтауыш жүйесі деп аталады.

Егер Т топологиялық кеңістігінің x нүктесінің маңайларының саналымды анықтауыш жүйесі бар болса, онда осы нүктеде бірінші саналымдылық аксиома орынды дейді. Егер ол топологиялық Т кеңістігінің әр нүктесінде орындалса онда Т бірінші саналымдылық аксиомалы кеңістік деп аталады.

Кез келген метрикалық кеңістікте (сеперабль болмасада) бірінші саналымдылық аксиома орындалады. Ал кез келген топологиялық кеңістікте, егер ол тек қана саналымды нүктелерден тұрса да, бірінші саналымдылық аксиома орынды болмауы мүмкін. Топологиялық сеперабль кеңістікте бірінші саналымдылық аксиома орынды болса да, саналымды база болмауы мүмкін.

нүктесін қамтитын кез келген ашық жиынды осы нүктенің маңайы деп атайды. Т кеңістігінің нүктесі жиынының жанасу нүктесі деп аталады, егер нүктесінің әрбір маңайында М жиынының кемінде бір нүктесі табылатын болса.

36. – кеңістікте нүкте қандай жиын?

а) Ашық, тұйық жиындар, қосалқылық қатынастар.

б) Нүктенің , жиынның маңайы (СТК-те).

бөліктеу аксиомасы:Т топологиялық кеңістігінің қандай әртүрлі нүктелерін алсақ, нүктесінің қамтымайтын маңайы, ал нүктесінің қамтымайтын маңайы бар.Мұндай кеңістіктерді кеңістік деп атаймыз. кеңістігінің кез-келген нүктесі тұйық жиын болады: онда нүктесінің қамтымайтын маңайы бар,демек .

кеңістікте әрбір ақырлы жиын тұйық болады.

а)Өзінің тұйықталуына тең жиын тұйық жиын деп аталады.Тек қана ішкі нүктелерден тұратын жиын ашық жиын деп аталады. Кез-келген ашық жиынның кеңістікке дейінгі толықтауышы тұйық жиын деп аталады.Қосалқылық қасиеті бойынша тұйық жиындардың қаншасының да қиылысуы тұйық;тұйық жиындардың ақырлы бірігуі тұйық жиын болады.

б)Егер СТК Х-тің нүктесінің маңайы берілсе,онда нөлдің маңайы болады.Дәл осылай егер нөлдің маңайы берілсе,онда x нүктесінің маңайы болады.Нөлдің маңайын х-қа жылжытып х нүктесінің маңайын аламыз.Сонымен СТК-те нөлдік нүктенің барлық маңайлары берілсе,онда кеңістіктің барлық нүктесінің маңайлары,сондықтан барллық ашық жиындар,демек кеңістіктің топологиясы берілді деген сөз.СТК Х-тың бос емес жиыны ашық дейді,егер әрбір нүктесі жиынына өзінің қайсібір маңайымен кіретін болса.Бұдан ашық жиын өзінің әрбір нүктесінің маңайы болатынын көреміз.

37. Ақырлы жиынның шектік нүктесі болатын т – кеңістікке мысал.

а) Шектік нүкте

б) Тізбектің жинақтылығы

A) Анықтама. x нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер оның кез келген маңайынан M жиынының x-тің өзінен басқа кемінде бір нүктесі табылатын болса.

Б) Анықтама.T- кеңістігінің элементтерінен тұратын тізбегі нүктесіне жинақты дейді, егер x нүктесінің кез келген маңайында белгілі бір n нөмірінен бастап тізбектің барлық элементтері жататын болса.

T1-аксиомасы. T топологиялық кеңістігінің әр түрлі x,y ( ) нүктелерінің әрқайсысының екіншісін қамтымайтын маңайы бар.Яғни, x ( - нің y ( - cін қамтымайтын маңайы , y ( - нің x ( - cін қамтымайтын маңайы бар.

Осы T1 аксиомасы орындалатын кеңістік- T1 топологиялық кеңістік деп аталады.

T1 аксиомасын қанағаттандырмайтын T кеңістікте ақырлы жиынның да шектік нүктесі болуы мүмкін.

Мысалы, X={a,b}, T1 кеңістік болмайды, себебі a нүктесінің b нүктесін қамтымайтын маңайы жоқ, оның жалғыз маңайы x. {a} үшін b нүктесі шектік нүкте.