Метрикалық кеңістікте топология базасын тұрғыз.
а) Метрикалық кеңістіктегі ашық шар
б) Топология базасы, мысал
Топологиялық кеңістікті алу деген - берілген тұғыр жиында топология анықтау, яғни барлық ашық жиндарды көрсету. Дегенмен, кейбір есептерде топологияны түгел анықтамай-ақ, ашық жиындардың бір бөлігін көрсетсе жеткілікті. Бірақ осы ашық жиындар жүйесінің элементтерінің бірігуі (ақырлы не ақырсыз) барлық ашық жиындарды анықтайтын болса жеткілікті.
Ашық
жиын
деп ішкі нүктелерден тұратын, яғни
өзінің элементтерін оның бір
маңайымен бірге қамтитын жиындарды
айтамыз. Метрикалық кеңістікте ашық
жиындар ашық
шарлардың
кез келген центрлі , кез келген радиусты
шарлардың бірігуі болады. Сол сияқты
дербес жағдайда , нақты түзу бойындағы
ашық жиындар тек қана интервалдардың
бірігуінен тұрады.
Анықтама.
топологиялық кеңістігі
ашық жиындардың жүйесі.
топологиясының базисі
деп аталады, егер барлық ашық жиындар
жүйесі элементтерінің бірігуі (ақырлы,
ақырсыз) болса.
Мысалы, метрикалық кеңістікте барлық ашық шарлар жүйесі базис болады. Радиустары рационал сандар болатын ашық шарлар жүйесі де базис болады. Шеткі нүктелері рационал сандар болатын интервалдар да базис болады.
базистің төмендегідей екі қасиеті бар:
1)
әрбір
нүктесі үшін кемінде бір
табылып,
болады.
Демек,
.
2)
Егер
нүктесі
және
жиындарының
қиылысуына тиісті болса, онда
болатын
табылады.
Теорема.
кеңістігінде
ашық жиындарының жүйесі
топологиясының базисі болуы үшін,
1) және 2) қасиет орындалуы қажетті және жеткілікті.
Жиынында тек қана тұрақты тізбек жинақты болатын топология анықта
а) Кеңістіктің топологиясы
б) Тізбектің жинақтылығы
Анықтама.Т-топологиялық
кеңістігінің элементтерінен тұратын
нүктесіне
жинақты дейді,егер х нүктесінің кез
келген маңайында белгілі бір нөмерден
бастап тізбектің барлық элементі жататын
болса.
-өзінен саны ақырлы,не саналымды нүктелерден тұратын жиынды алып тастағанда шығатын іш жиындарды ашық жиындар деп алсақ,онда топология шығады.
0-нүктесінде -ге жанасу нүктесі болады. жиынынан 0-ге жинақталатын тізбек жоқ.Жалпы алынған Т-кеңістікте тек тұрақты тізбектер жинақты болады.Жалпы Т-кеңістікте Х жиынның өзі және жиын әр уақытта әрі тұйық,әрі ашық.Егер Т-кеңістікте әрі тұйық,әрі ашық болатын басқа жиындар жоқ болса байланысты кеңістік д.а.
Дәлелі:
0-нүктесінде
-ге жанасу нүкте болама?
0-дің
кез келген маңайы [0,1]-ден саналымды
нүктелерді алып тастасақ [0,1]-де континиум
нүктелер қалады.
-жанасу
нүктесі болады.Енді 0-ге жинақталатын
тізбек барма?
Мына тізбек саналымды нүктелерден тұрады.Жинақталатын тізбек жоқ.
Дәлелденді.
– де 0-жанасу нүктесіне жинақты тізбек жоқ болатын топология анықта
а) Жанасу және шектік нүктелер
б) Кеңістіктің топологиясы
Анықтама.Т-топологиялық кеңістігінің элементтерінен тұратын нүктесіне жинақты дейді,егер х нүктесінің кез келген маңайында белгілі бір нөмерден бастап тізбектің барлық элементі жататын болса.
Теорема.Метрикалық кеңістікте х нүктесі М жиынынның жанасу нүктесі болуы үшін,х-нүктесіне жинақталатын М жиынынан тізбек бөлінуі қажет және жеткілікті.
Кез келген топологиялық кеңістікте жанасу нүктесі жинақталатын тізбек болмауы мүмкін.
Анықтама.х-нүктесі
жиынынның жанасу нүктесі д.а.-егер х-тің
кез келген маңайынан М жиынынның кемінде
бір нүктесі табылса.
Анықтама.х-нүктесі М жиынынның шектік нүктесі д.а.-егер х-тің кез келген мағайынан М жиынынның х-тан өзге кемінде бір нүкте табылса.
Мысалы,
Дәлелі:
0-нүктесінде -ге жанасу нүкте болама?
0-дің кез келген маңайы [0,1]-ден саналымды нүктелерді алып тастасақ [0,1]-де континиум нүктелер қалады. -жанасу нүктесі болады.Енді 0-ге жинақталатын тізбек барма?
Мына тізбек саналымды нүктелерден тұрады.Жинақталатын тізбек жоқ.
Дәлелденді.