Теорема (стк - тің нормалануы), дәлелсіз
а) Хаусдорф кеңістігі, мысал.
б) Дөңес маңай
СТК нормаланатын болу үшін оның Хаусдорф кеңістігі болуы және онда нөлдің шенелген дөңес маңайы бар болуы қажет және жеткілікті.
а) аксиомасын қанағаттандыратын кеңістік Хаусдорф кеңістігі деп аталады.
аксиома.
Топологиялық
кеңістігінің кез келген әртүрлі екі
және
нүктелерінің өзара қиылыспайтын
және
маңайлары бар.
Мысалы, кесіндісін алып, оның өзі және бос жиынмен қатар осы кесіндіден саны ақырлы,не саналымды жиын құрайтын нүктелерді алып тастағанда шығатын жиындарды ашық деп алсақ, онда Хаусдорф кеңістігі болмайтын –кеңістік шығады.
б)Сызықтық
топологиялық кеңістіктің әрбір
нүктесінің дөңес маңайы бар. Оны көру
үшін нөлдің
маңайынан оның дөңес
қауашығына көшу керек. Одан соң
маңайларын қарастыру жеткілікті. Бірақ
кез келген СТК-те нөлдің дөңес маңайларынан
тұратын маңайларының базасы болмауы
мүмкін.
Саналымды базалы t – кеңістікте б.Ж. Тығыз жиынды көрсет.
а) Екінші саналымдылық аксиомасы
б) Сеперабель кеңістік, мысал
Топологиялық кезеңнің ішінде саналымды базистері, яғни саналымды жиыннан аспайтын базисі бар кеңістіктер маңыздырақ. Егер топологиялық кеңістікте саналымды базис бар болса, онда ол кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын табылатынын көрсетуге болады. Шынында {Gn} жүйесі Т топтың кеңістігі саналымды базис болсын, әрбір Gn жиынының Xn нүктесін алайық (n= 1, 2, ….)
Сонда
саналымды жиын Т-да барлық жерде тығыз
) Егер болмайды десең G=
бос емес G- ашық жиынында X- тің ешбір
нүктесі болмас еді.
Бұл мүмкін емес, себебі ашық жиын G базисінің қайсібір Gn жиындарының бірігуі болуы керек. Ал Xn= Gn (n= 1, 2, ….)
Теорема. Метрикадық кеңістікте саналымды базис бар болуы үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажетті және жеткілікті.
Метрикалық
кеңістік топологиялық кеңістік
болғандықтан саналымды базисі бар
болса, онда метрикалық кеңістік сеперабель
болатыны жоғарыда айтылады.
Х
метрикалық кеңістігінде және барлық
жерде тығыз
бар дейік.
.
Онда (S =
,
, ….) n,m
натурал, 0 жоқ ашық шарлар жүйесі саналымды
базис болады.
Метрикалық кеңістік сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішкі жиыны бар топтық кеңістікте сеп/ль кеңістік деп аталады.
Соңғы тр. топтық кеңістік үшін орынсыз. Яғни, сеперабель кеңістік болса да, саналымды базисі жоқ топологиялық кеңістігінде мысалы бар. Оны түсіну үшін төмендегі жағдайларды ескеру керек.
Метрикалық
кеңістікте әрбір Х (*) – ң саналымды
жиын болатын S (
)
- маңайларының жүйесі бар және осы Х
(*) – ң қамтитын
ашық G жиыны үшін S (
)
болатын ашық шар
.
Осындай қасиеті бар маңайлар жиыны Х
(*) – ң маңайының жүйесі деп аталады.
Б) Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, метрикалық кеңістігі сеперабль кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның элементіне жинпқталатын іштізбегі бар, тізбек табылса, яғни және үшін болатын элементі бар тізбек бар болса.
Мысал: C[a,b] - сеперабель кеңістік. Қандай алсақ та кез келген үшін болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын көпмүшелік табылып болады. Сондықтан . Ал коэффициенттері рационал болатын көпмүшеліктердің жиыны саналымды.