Саналымды нормалы кеңістіктер, мысалдар.
а) Нормалардың келісімділігі.
б) Саналымды нормалы кеңістікте метрика анықта.
Сызықтық
Е кеңістігі саналымды нормалы дейді,
егер онда әрбір жұбы келісімді болатын
саналымды нормалардың жүйесі берілсе.
Кез-келген саналымды нормалы кеңістік
СТК болады, егер онда
нөмері және
санымен анықталатын
нөлдің маңайларының анықтауыш жүйесін
беріп, олардың әрқайсысы
шарттарын қанағаттандыратын барлық
нүктелерінен тұрады десек.
Сызықты
Е кеңістікте екі норма
берілсін. Осы нормалар келісілген дейді,
егер осы нормалардың әрқайсысы бойынша
іргелі және біреуі бойынша
элементіне жинақты
тізбегі нормалардың екіншісі бойынша
да осы х элементіне жинақты болса.
Әрбір
саналымды нормалы кеңістік бірінші
бөлектеу аксиомасын қанағаттандырады.
Оны көру үшін
нөлдің маңайларының жүйесін
болатын ішжүйелерімен ауыстыру
жеткілікті. Және саналымды нормалы
кеңістікте топологияны қайсыбір метрика
арқылы,
Саналымды Гильберт кеңістіктері, мысал.
а) Нормаланған толық кеңістіктердің кемімелі тізбегі.
б) Саналымды нормалы кеңістіктің толықтық шарты.
Cаналымды
нормалы кеңістік – толық дейді, егер
ол енгізілген (1) метрика бойынша толық
болса және {
}
тізбегі (1) метрика бойынша іргелі болса,
{
}
тізбегі (1) метрика бойынша
(.)-не жинақты болады, сонда тек сонда
егер ол
элементіне әрбір
норма бойынша жинақты болса.
Саналымды
нормалы кеңістіктердің маңызды дербес-
саналымды Гильберт кеңістігі деп
аталатын кеңістіктер. Н сызықтық
кеңістігінде (
)
скаляр көбейтінділерінің жүйесі берілсін
және осы скаляр көбейтінділерінмен
анықталған
келісімді
дейік. Егер осындай кеңістік толық
болса, онда ол саналымды Гильберт
кеңістігі деп аталады.
Саналымды
нормалы Гильберт кеңістігіне мысал
Ф-әрбір
саны үшін
Қатары
жинақты болатын
сандар
тізбегінің жиыны болсын. Мұнда саналымды
нормалар жүйесі
теңдіктермен беріледі.
СТК-тің анықтамасы, қасиеттері.
а) Локаль дөңес кеңістіктер,қасиеттері.
б) СТК шенелген және локаль шенелен жиындар, қасиеттері.
Анықтама және негізгі қасиеттер. кез-келген табиғаттағы элементтерден тұратын жиын болсын.
1-анықтама. жиыны сызықты топологиялық кеңістік ( қысқаша СТК) деп аталады егер төмендегі шарттар орындалса:
I. сызықтық ( К сандар өрісі үстінде) кеңістік.
II. топологиялық кеңістік.
III. кеңістігіндгі элементтерді қосу және элементтерді сандарға көбейту амалдары тің топологиясы бойынша үзіліссіз, яғни кеңістіктің сызықтық және топологиялық құрылымдары өзара үйлесімді.
1`-анықтама. жиыны торологиялық кеңістік деп аталады, егер төмендегі шарттар орындарлса.
II`. кеңістігінде төмендегідей қасиеттері бар бос емес ішжиындардың жүйесі берілген.
Әрбір орнықты және жұтушы жиын;
Кез-келген үшін табылып,
Әрбір үшін табылып, болады.
Анықтама.СТК-ң
М жиыны шенелген дейді, егер нөлдің
әрбір U маңайы үшін n > 0 саны табылып,
барлық
болатын
үшін
болса.
Анықтама.Сызықтық топологиялық Е кеңістігі локаль шенелген деп аталады,егер онда кемінде бір бос емес шенелген ашық жиын болса.
Анықтама.СТК локаль дөңес деп аталады, егер ондағы кез-келген бос емес ашық жиынның бос емес дөңес ішжиыны бар болса.