25. Теорема (Хаусдорф кеңістігіне өзара бірмәнді үзіліссіз бейне).

а) Геоморфизм, мысал.

б) Үзіліссіз бейнелеу, анықтамасы, қасиеттері.

Теорема.

компакты кеңістігін Хаусдорф кеңістігіне өзара бірмәнді және үзіліссіз бейнелейтін операторы гомеморфизм болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша кері оператор бар, оның үзіліссіздігін дәлелдеу жеткілікті. тұйық ( демек, компакты) жиын, . оның кеңістігіндегі бейнесі дейік. компакт болса, онда ол кеңістігінде тұйық. Демек, бойынша тұйық жиынның түпбейнесі тұйық жиын. Бұл үзіліссіз оператор болғаны.

а) Егер топологиялық кеңістігін топологиялық кеңістігіне бейнелейтін операторы өзара бірмәнді және өзара үзіліссіз болса, онда операторы гомеморфизм деп аталады.

Мысалы, сандар түзуі мен интервалы арасында гомеоморфизм бар.

б) топологиялық кеңістігін топологиялық кеңістігіне бейнелейтін А операторы нүктесінде үзіліссіз дейді, егер маңайы үшін нүктесінің , А( ) маңайыңда мына шарт орындалса,

)<

Егер А оператор Х кеңістігіндегі барлық нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол үзіліссіз оператор деп аталады.

Бұл жолда оператордың үзіліссіздік қасиеті нүктенің маңайындағы қасиеті бойынша локаль қасиет ретінде берілген. Дегенмен, үзіліссіз қасиетін ашық жиындар тілінде де беруге болады

26. Сызықтық топологиялық кеңістіктер, лемма (нөлдің маңайлары).

а) СТК-дегі маңай түсініктері

б) Маңайлар базасы

Анықтама және негізгі қасиеттер. кез-келген табиғаттағы элементтерден тұратын жиын болсын.

1-анықтама. жиыны сызықты топологиялық кеңістік ( қысқаша СТК) деп аталады егер төмендегі шарттар орындалса:

I. сызықтық ( К сандар өрісі үстінде) кеңістік.

II. топологиялық кеңістік.

III. кеңістігіндгі элементтерді қосу және элементтерді сандарға көбейту амалдары тің топологиясы бойынша үзіліссіз, яғни кеңістіктің сызықтық және топологиялық құрылымдары өзара үйлесімді.

1`-анықтама. жиыны торологиялық кеңістік деп аталады, егер төмендегі шарттар орындарлса.

II`. кеңістігінде төмендегідей қасиеттері бар бос емес ішжиындардың жүйесі берілген.

1. Әрбір орнықты және жұтушы жиын;

2. Кез-келген үшін табылып,

3. Әрбір үшін табылып, болады.

Әрбір орнықты жиынында нөлдік элемент бар . V жүйесінің жиындары сызықтық топологиялық Х кеңістігінде нөлдің маңайлары деп аталады.

Х сызықтық топологиялық кеңістігінің х нүктесінің маңайы деп нөлдің маңайы түріндегі жиынды айтад. Сонымен нөлдің маңайын х-қа жылжытып, х нүктесінің маңайын аламыз.

Сәйкесінше х нүктеснің маңайларының қайсыбір жиыны V осы нүкте маңайларының базасы (не фундаменталь жүйесі) деп аталады, егер х нүктесінің қандай маңайы алынса да, оның ішжиыны болатын V жиынына тиісті маңайлар табылатын болса.

1-лемма. Нөлдің кез келген маңайының ішжиыны болатыг нөлдің ашық маңайы бар.

► Нөлдің кез келген маңайы берілсін. маңайы болатын нүктелерінің жиынын дейік. Осы бос емес: . Енді ашық екенін көрсету үшін кез келген нүктесін қарастырайық. Алуымыз бойынша жиыны нүктесіне маңай болады, онда , мұндағы нөлдің маңайы. II` аксиома бойынша болатын нөлдің маңайы бар. Онда нүктесінің маңайы кез келген нүктесі үшін . Бұдан жиыны нүктесінің маңайы болатынын көреміз, сондықтан , демек, . Бұл ашық болғаны. Жоғарыда көрсеткендей және .◄

2-лемма. Нөлдің маңайының кез келген , 𝜆 , гомотетиясыда нөлдің маңайы болады.

► Нөлдің маңайы берілген. Онда болатын маңайы табылады. II` aксиома бойынша болатын нөлдің маңайы бар. Және болатындықтан . Сол сияқты болатын аламыз. Сонда болады. Осы процесті жалғастыра беріп, болатын жеткілікті үлкен, n-ретте таңдап, болатын етеміз. Мұндағы орнықты жиын болғандықтан, . Онда . Бұл 𝜆u нөлдiң маңайы болғаны◄