Теорема (Компакты жиынның үзіліссіз бейнесі).
а) Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал
б) Компакттылық және саналымды компакттылық
Теорема 1. Компакты кеңістіктің үзіліссіз бейнесі компакт болады.
Дәлелдеуі.
Х – компакты топологиялық кеңістік.
A:X
Y осы кеңістікте анықталған үзіліссіз
оператор.
Дәлелдеу керек: А(Х) – компакты?
{ } – A(X) – ашық бүркеуі болсын.
Ақырлы ішбүркеу болатынын көрсету
А- үзіліссіз оператор болғандықтан әрбір - ашық жиынның түпбейнесі
=
(
)
X ашық жиын, {
}
X-тың ашық бүркеуі болады.
Себебі { } ашық бүркеу
Шарт
бойынша Х-компакт болғандықтан
}-
ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөліп
алуға болады. {
} j=
A(
)
=
j=
жиындары A(X)-тің ақырлы ішбүркеуі болады.
A(X)-тің {
}
ашық бүркеуінен {
}ақырлы
ішбүркеу бөлінеді
A(X)- компакт жиын болғаны.
Компакты кеңістіктегі үзіліссіз функционал
Теорема 2. Компакты Х топологиялық кеңістігінен R-нақты сандар жиынына көшіретін үзіліссіз функционал өзіне ең жоғарғы және ең томенгі мәндерін қабылдайды.
Дәлелдеу. Теорема1 бойынша Х компакты кеңістігінің үзіліссіз f функциясы бойынша мәні f(x) R R нақты сан өсінде шенелген тұйық жиын компакты жиын болады.
R мат.анализден білетініміздей шенелген тұйық жиынын ең кіші ең үлкен элементтері немесе мәндері бар.
Бұл f функциясы шенелген және өзінің ең үлкен, ең кіші мәндерін қабылдайды
Компактылық және саналымды компактылық
Анықтама.⏌ Т топология кеңістігінің ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болса, онда Т компакты кеңістік деп аталады.
En
(
)
– Евклид ақырлы өлшемді кеңістігінде
әрбір шенелген тұйық жиын компакты
Теорема. Т топологиялық кеңістік компакты болуы үшін төм шарт
(R)
Т кең-дегі тұйық жиындарының әрбір
центрленген жүйесінің қиылысуы бос
емес
≠
{
}тұйық жиындардың центрленген жүйесі.
Т
компакт {
}- тұйық центрленген
= T -
-ашық
жиын
Шарт
бойынша
≠
=
(T
-
)
= T -
≠
}
– бүркеу
ашық емес
⏌
}
ашық бүркеу болса
одан ақырлы ішбүркеу бөлінетін еді.
Яғни
Т
-
(
)
=
(T
-
)
=
≠
(R) орынды
Саналымды компактылық
Анықтама. ⏌Т топологиялық кеңістігінің саналымды ашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болса онда Т саналымды компакт кеңістік деп аталады
Теорема1. Саналымды базалы топологиялық кеңістік саналымды компакт болса онда ол компакт ы кеңістік болады.
Дәлелдеуі. Саналымды базалы Т кеңістігінің ашық бүркеуінен санаымды ішбүркеу бөлінеді. Т саналымды компакты болса, онда саналымды ашық ішбүркеу мен ақырлы ішбүркеу бөлінеді.
Бұл Т кеңістік компакт болғаны ,себебі оның ақырлы ішбүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінеді
Теорема2. Т топологиялық кеңістігіндегі саналымды компакт болу үшін төмендегі шарттың кемінде біреуі орындалуы қажет және жеткілікті
саналымды ашық бүркеуден ақырлы ішбүркеу бөлінеді
тұйық жиындардың саналымды (центрленген) жүйесінің қиылысуы бос емес.
Теорема 3. Саналымды базалы топологиялық кеңістіктерде саналымды компактылық пен компактылық қасиеттерінің(біреуі орындалса) бірінен біреуі шығады.
Дәлелдеуі. Т кеңістігінде } ашық бүркеуі берілсін. Т саналымды базалы болғандықтан } ашық бүркеу. Т саналымды компакт болса, онда оның саналымды ашық бүркеуінен ақырлы бүркеу бөлінеді } ашық бүркеу бөлінеді.
Т компакты болса оның ашық бүркеуінен(саналымды бүркеуден) ақырлы бүркеу бөлінеді