Теорема (Компактты жиынның ішжиыны).
а) Компактылық анықтамасы, мысал
б) Ашық, тұйық жиындар
Теорема. Компакты жиынның тұйық ішжиыны компакты.
Дәлелдеуі.
М
компакты жиын,
тұйық болсын.Онда толықтауыш жиын
ашық.Демек ,
ішжиынының кез келген
ашық бүркеуі
–пен бірге М жиынының ашық бүркеуі
болады.Онда компакты М жиынын бүркейтін
ақырлы ішбүркеу бөлінеді . Осы ақырлы
бүркеуден
-ті
шығарып тастап ,
ішжиыны үшін
бүркеуінен бөлінген ақырлы ішбүркеу
аламыз.Бұл
компакты болғаны.
a) Анықтама. Топологиялық Т кеңістігінің М жиыны компакты дейміз, егер оның кез келген ашық (жиындармен) бүркеуінен ақырлы бүркеу бөлінетін болса.
Мысалы.
ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінде
әрбір шенелген тұйық жиын компакты
болады.
б)
Анықтама. Қайсыбір
жиыны берілсін. Осы
жиынының төменгі шарттарды қанағаттандыратын
ішжиындарының
жүйесін
жиынының топологиясы деп атайды :
1. жиынының өзі және бос жиын екеуі де жүйесіне тиісті.
2. жүйесіне тиісті саны ақырлы ,не ақырсыз жиындарының бірігуі де -да жатады.
3. жүйесіне тиісті саны ақырлы жиындардың қиылысуы -да жатады.
жүйесіне тиісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
жиынының
толықтауышы
тұйық жиын деп аталады.Сонымен кез
келген ашық жиынның толықтауышы тұйық
жиын деп аталады.
Теорема (Хаусдорф кеңістігіндегі компакты жиын).
а) Тұйық және ашық жиындар, екі жақтылық қатынас.
б) Жанасу нүктелері, қасиеттері.
А)Тұйық және ашық жиындар, екі жақтылық қатынас.
Теорема. Компакт кеңістіктің тұйық іш-жиыны да компакт.
Дәлелі.
Т компакт жиын болсыг.
тұйық жиын болсын.
тұйық жиындардың центрленген жүйесі.
-тұйық
-да
тұйық жиын Т-да тұйық
да тұйық жиын центрленген жүйесі.
Т-компакт болғандықтан теорема
(Топологиялық Т кеңістігі компакты болу
үшін төменгі шарт қажетті және жеткілікті:
Т кеңістігіндегі тұйық жиынның әрбір
центрленген жүйесінің қиылысуы бос
емес,
тұйық жиынның центрленген жүйесі.
бойынша қиылысуы бос емес.
Демек
компакт.
Хаусдорф кеңістігінің ішжиыны да Хаусдорф болғандықтан төменгі салдар орынды.
Салдар. Компактының ішкеңістігі де компакт тұйық ішжиыны да компакт.
Б)Жанасу нүктелері, қасиеттері. нүктесі жиынының ( ) жанасу нүктесі деп аталады, егер нүктесінің кез келген маңайынан жиынының кемінде бір нүкте табылса. жиынының барлық жанасу нүктелерінің жүйесі жиыныныңтұйықталуы деп аталады. Оны деп белгілейміз. -нен -ге көшу тұйықталу амалының төменгі қасиеттері орындалады:
1)
2)
3) Егер болса, онда
4) .
Теорема (Компакт және нормаль кеңістік).
а) аксиомасы
б) Нормаль кеңістікке мысал
Теорема. Кез келген компакт нормаль кеңістік болады.
Дәлелдеуі.
Т- компакт,
және
оның өзара қиылыспайтын тұйық жиындары
болсын. Теорема (Компактты
жиынның ішжиыны ) бойынша
,
компакты жиындар. Компакты Т Хаусдорф
кеңістігі болғандықтан ,кез келген
, кез келген
нүктелерінің өзара қиылыспайтын
маңайлары
бар. Енді у
өзінің
жиынындағы , х
өзінің
жиынындағы мәндерін түгел қабылдайды
десек, онда
және
тұйық жиындарының ашық бүркеулерін
аламыз. Олардан ақырлы өзара қиылыспайтын
ашық бүркеулер бөлінеді:
Мұндағы және кез келген тұйық жиындар болғандықтан Т нормаль кеңістік.
Дәлелденді.
a)T1
аксиомасы
(бірінші
бөліктеу аксиомасы): Т тополпгиялық
кеңістігінің қандай әртүрлі х
және у
нүктелерін
алсақ та , х
нүктесінің у
нүктесін қамтымайтын
маңайы
,
у нүктесінің
х
нүктесін қамтымайтын
маңайы
бар.
аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер - кеңістіктері деп аталады.
б)T4 аксиомасы (нормальдік аксиомасы): - кеңістіктің
қиылыспайтын екі тұйық жиындарының өзара қиылыспайтын маңайлары бар.Мұндай - кеңістіктер нормаль кеңістіктер деп аталады.
Барлық
метрикалық кеңістіктер нормаль
кеңістіктер болады. Шынында Х метрикалық
кеңістігінде өзара қиылыспайтын М және
N тұйық жиындар берілсін. Онда әрбір
нүктесінің N
тұйық жиынынан қашықтығы
оң болады. Сол сияқты әрбір
нүктесі үшін де
.
Ашық шарлардың бірігуі болатын төменгі
ашық жиындардың қарастырайық :
Әрине
.
Енді
болатын
көрсету керек. Қарсы жорып,
десек ,онда М жиынынан
шартын қанағаттандыратын
нүктесі
табылады, ал
N жиынынан
болатын
табылады
. Егер
десек ,онда
Демек,
.Бұл
қашықтығының анықталуына қайшы.Сол
сияқты ,
десек те қайшылыққа келеміз.