8. Работа и мощность электрического тока. Энергетический баланс

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении положитель-

ного заряда Q вдоль неразветвлённого участка a – b электрической цепи, не содержащего источников электрической энергии, равна произведению этого заряда на напряжение между концами участка:

Для оценки энергетических условий важно знать, сколь быстро совершается

работа, т.е. определить мощность

(8.1)

Основная единица работы в системе СИ – джоуль (Дж), мощности – ватт (Вт).

Для резистивных элементов выражение (8.1) можно преобразовать, восполь-

зовавшись законом Ома

(8.2)

Для источника ЭДС, направление которой совпадает с направлением тока

(рис.8.1, а), мощность сторонних сил Если направления ЭДС

и тока противоположны, то мощность (рис. 8.1, б). Аналогич-

но мощность источника тока если направления тока внутри

а б в г

Рис. 8.1

источника и напряжения между его выводами противоположны

(рис. 8.1, в). В противном случае мощность (рис. 8.1, г), т. е. источник получает энергию из внешней цепи.

В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический баланс мощностей: алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии (в част-

ности, источников тока и источников ЭДС) равна арифметической сумме мощ-

ностей всех приёмников энергии (в частности, резистивных элементов) [3]:

, или (8.3)

В качестве примера составим баланс цепи, показанной на рис. 8.2:

Рис. 8.2

Решение задач приведено в источниках: : [7, 13, 14, 16].

Пример 9. Для цепи (рис.8.3) заданы: и .

Определить:

1) ЭДС источника

2) токи в остальных ветвях;

3) мощность каждого резистора;

4) составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.

Рис. 8.3

Решение. Ток проходит через источник и создаёт падение напряжения на

его внутреннем сопротивлении и на резисторе с сопротивлением , т.е. Тот же ток создаёт падение напряжения между точками ab, т.е. ЭДС источника складывается из этих падений напряжения, т.е.

Для определения напряжения между точками и токов

и произведём преобразование схемы (см. рис. 8.3) и определим общее сопро-

тивление

Искомые токи определим по закону Ома:

где

или

Мощность каждого резистора определяется выражением

(например: и т.д.), а баланс мощностей для цепи (м. рис. 8.3):

Пример 10. На нагревательном элементе в течение 0,5 ч работы выделилось 550 ккал теплоты. Определить сопротивление элемента, потребляемый им ток, его мощность и затрачиваемую энергию при напряжении

Решение. По закону Джоуля – Ленца откуда

здесь 0,24 − тепловой коэффициент.

Сопротивление нагревателя

Мощность нагревателя

Энергия, потребляемая за ч работы

Пример 11. К источнику постоянного тока напряжением подклю-

чена нагрузка, состоящая из четырёх параллельных ветвей. Мощности, потреб-

ляемые каждой ветвью, равны:

Определить проводимость и ток каждой ветви, общую проводимость и эквива-

лентное сопротивление нагрузки, ток в неразветвлённой части цепи.

Решение. Зная мощность и ток каждой ветви, при заданном значении входно-

го напряжения можно записать так как ток в каждой параллель-

ной ветви

Эквивалентная проводимость нагрузки

Эквивалентное сопротивление нагрузки

Токи в ветвях определим по формуле

Ток в неразветвлённой части цепи

или

Пример 12. Для цепи, приведённой на рис. 8.4, дано:

Рис. 8.4

1. Определить величину и направление тока в цепи.

2. Найти потенциалы точек: Б, В, Г, Д, Ж, приняв потенциал точки А равным нулю .

3. Построить потенциальную диаграмму.

4. Составить и проверить баланс мощностей для цепи.

Решение.

1. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке, тогда величи-

на тока

.

Знак «−», полученный в результате вычисления тока, указывает на то, что ток направлен против выбранного направления обхода, т. е. против часовой стрелки (как показано на рис. 8.4). В дальнейших расчётах знак «−» не учиты-

вается. Таким образом, генератор, и потребители.

2. Для определения потенциалов указанных точек обходим контур по направлению тока. При этом получаем ( по условию):

В.

3. Для построения потенциальной диаграммы по оси ординат в масштабе от-

кладываются потенциалы точек, а по оси абсцисс – сопротивления участков. Потенциальная диаграмма изображена на рис. 8.5.

Рис. 8.5

4. Баланс мощностей в электрической цепи с несколькими источниками вы-

полняется при условии, что сумма мощностей источников, работающих в режи-

ме генераторов, равна сумме мощностей источников, работающих в режиме по-

требителей, и потерям мощностей на всех сопротивлениях цепи, включая внут-

ренние сопротивления источников, т.е.

;

;

Пример 13. Для схемы на рис. 8.6 дано (табл.):

Номер ветви	1	2	3	4	5	6	7	8
В	?	?	14	14	?	28	28	10
А	−1	2,2	0,8	−1,4	0,2	1,2	−1	0
Ом	0	10	8	4	4	3	2	2

1. Не определяя ЭДС найти показания вольтметров.

2. Определив потенциалы узлов, найти ЭДС проверить вычисле-

ния, составив уравнения по второму закону Кирхгофа, приняв потенциал за-

землённой точки равным нулю.

Рис. 8

Решение. 1. Для определения показания вольтметров найдём потенциалы уз-

лов и точек :

Показания вольтметров:

2. Определим значения ЭДС: т.е. аналогич-

но . Проверим выполнение второго закона Кирхгофа по

контуру , что после под-

становки численных значений даёт

Пример 14. Составить для схемы, изображенной на рис. 8.7, систему уравне-

ний по законам Кирхгофа для определения неизвестных токов.

Рис. 8.7

Решение. Считаем, что в тупиковой ветви, содержащей сопротивление R₆ , и в ветвях, содержащих вольтметры и , тока нет. По первому закону Кирх-

гофа составляем независимые узловые уравнения для узлов 1, 2, 3:

По второму закону Кирхгофа составляем

контурные уравнения. Для контуров данные уравнения имеют вид: