6. Метод эквивалентного преобразования схем
В ряде случаев расчёт сложной электрической цепи упрощается, если в её схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалент-
ной группой. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.
Последовательное соединение резистивных элементов
Отличительной особенностью последовательного соединения резистивных элементов [5] является то, что электрический ток во всех участках цепи один и
тот же.
Рассмотрим общий случай последовательного соединения резистивных эле-
ментов (рис. 6.1).
Ток, проходящий по цепи, равен
.
На указанном участке действует
напряжение
,
равное алгебраической сумме падений
напряжений на резисторах:
(6.1)
Рис. 6.1
Вынесем за скобку, получим:
или
Отношение
есть некоторое сопротивление,
эквивалентное по свое-
му действию всем трём сопротивлениям:
(6.2)
Этот вывод можно распространить на любое число последовательно вклю-
чённых пассивных элёментов:
(6.3)
Полный вывод уравнения (6.3) приведён в [3].
Параллельное соединение резистивных элементов
Рассмотрим случай параллельного соединения резистивных элементов [5] с
сопротивлениями
(рис. 6.2). На узлах точки (а
и b)
при прохождении тока
по данной цепи устанавливается
напряжение
.
Составим уравнение
токов для узла в соответствии с первым законом Кирхгофа:
Рис. 6.2
Токи приёмников можно выразить, используя связь напряжения между узла-
ми и проводимостями ветвей:
где
(6.4)
Разделим
последнее уравнение на
Отношение
есть проводимость
,
соответствующая общему току цепи
и общему напряжению:
(6.5)
Этот вывод можно
распространить на любое число
параллельно соединён-
ных приёмников:
(6.6)
При параллельном соединении пассивных ветвей общая проводимость меж-
ду двумя узлами равна сумме проводимостей всех ветвей.
Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении нескольких ветвей определяется из равенства
(6.7)
Очень часто встречается параллельное соединение двух ветвей. В этом слу-
чае эквивалентное сопротивление определяется по формуле
или
(6.8)
Полный вывод уравнения (6.8) приведён в [3].
Соединение резистивных элементов по схеме звезда и треугольник
В общем случае схему замещения цепи, собранную по схеме n-лучевой
звезды из резистивных элементов, можно заменить эквивалентной схемой в ви-
де n-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в огра-
ниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трёхлучевой звезды [3]. Такое преобразо-
вание применяется при расчётах сложных цепей постоянного тока и цепей трёхфазного тока.
Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 6.3) получается
приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между одно-
имёнными узлами этих схем, отсоединённых от остальной части цепи.
Найдём сопротивление между узлами A и B.
а б
Рис. 6.3
Проводимость
между узлами
и
для
схемы треугольника (рис. 6.3, а)
рав-
на
Сопротивление между узлами и – величина, обратная проводимости
между этими узлами, т.е.
Для схемы звезда (рис. 6.3, б) сопротивление между теми же узлами и
равно сумме
сопротивлений двух ветвей
Согласно условию эквивалентности должно выполняться равенство
(6.9)
здесь
сумма
сопротивлений всех ветвей для треугольника.
Структуры треугольника и звезды по отношению к узлам симметричны. По-
этому условия равенства сопротивлений между узлами и и между узлами
и можно получить из уравнения (6.9) простой циклической перестановкой индексов:
(6.10)
(6.11)
Для определения
сопротивления
звезды сложим выражения (6.9) и (6.11) и
вычтем из этой суммы выражение (6.10);
разделив последнее на два,
найдём:
(6.12)
Сопротивление других ветвей звезды получим путём циклической перес-
тановки индексов:
(6.13)
(6.14)
В случае равенства
сопротивлений ветвей треугольника
сопротивления
ветвей эквивалентной звезды тоже
одинаковы:
(6.15)
Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эк-
вивалентный треугольник.
Для этого перемножим попарно выражения (6.12) – (6.14) и сложим полу-
ченные произведения:
Последнее уравнение разделим на (6.14) и определим сопротивление ветви треугольника:
(6.16)
Путём циклической перестановки индексов в уравнение (6.16) найдём выра-
жения для cопротивлений двух других ветвей:
(6.17)
(6.18)
Примером упрощения расчётов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис. 6.4, а). После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. 6.4, б) можно рассмат-
ривать как смешанное соединение резистивных элементов.
а б
Рис. 6.4
Указанный вывод приведён в [3].