17. Метод эквивалентного источника (активного двухполюсника)

Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней относи-

тельно неё частью цепи через два вывода – полюса. Различают активные и пас-

сивные двухполюсники. Активный двухполюсник содержит источники элект-

рической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. Условные обоз-

начения активного А и пассивного П двухполюсников приведены на рис. 17.1.

Для расчёта цепей с двухполюсниками последние представляют схемами заме-

щения [3, 6, 20].

Схема замещения линейного двухполюсника определяется его линейной вольт-амперной или внешней характеристикой

Рис. 17.1

Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника – прямая. Его схема замещения представляется резистивным элементом с сопротивлением

где и – напряжение между выводами, ток и входное сопротивление

пассивного двухполюсника.

Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (рис.17.2, а)

можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода,

т. е. при и короткого замыкания, т.е. при

. Эта характеристика (рис. 17.2, б ) и её уравнение

(17.1)

(17.2)

где – эквивалентное или выходное сопротивление двухполюсника, совпада-

ют c одноимёнными характеристиками и уравнением (3.1) источника электри-

ческой энергии, представляемого схемами замещения на рис. 3.3, а. Итак, ак-

тивный двухполюсник представляется эквивалентным источником с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис.17.2, а).

а)

б)

Рис. 17.2

Если приёмник с сопротивлением нагрузки подключён к активному двухполюснику, то его ток определяется по методу эквивалентного источника:

(17.3)

что следует из закона Кирхгофа. Эквивалентную схему с источником ЭДС на-

зывают схемой Гельмгольца – Тевенена.

Метод эквивалентного источника тока. Для расчёта тока в ветви , соп-

ротивление которой , надо заменить часть схемы относительно зажимов a и (при разомкнутой ветви a и ) эквивалентным источником тока, ток кото-

рого , а проводимость (рис. 17.3, а).

а б

в г

Рис. 17.3

Для нахождения тока надо зажимы a и закоротить и любым способом

рассчитать ток короткого замыкания , протекающий по закороченому участ-

ку (см. рис. 17.3, б). При этом . Сопротивление можно найти по

методу эквивалентного источника ЭДС по формуле (17.2). Это же сопротивле-

ние может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схе-

мы в режиме короткого замыкания (рис.17.3, в), по формуле:

(17.4)

Ток в ветви (см. рис. 17.3, г)

(17.5)

Эквивалентная схема с источником тока (см. рис. 17.3, г) – схема Нортона.

Пример 38. Определить ток на нагрузке в схеме рис. 17.4.

а) б)

в)

Рис.17.4

Решение. Поскольку приёмник с сопротивлением нагрузки подключен к активному двухполюснику (см. рис. 17.4, а), то его ток определяется по методу

эквивалентного источника:

что следует из второго закона Кирхгофа.

Для расчёта напряжения холостого хода между выводами a и b активно-

го двухполюсника разомкнём ветвь с резистивным элементом (см. рис.17.4, б). Применяя метод наложения и учитывая симметрию схемы, находим:

Заменив источники ЭДС и тока активного двухполюсника резистивными

элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соот-

ветствующих источников (нулевым − для источника ЭДС и бесконечно боль-

шим − для источника тока), получим выходное сопротивление (сопротивление, измеренное на выводах a и b) (см. рис. 17.4, в)

а также искомый ток

Пример 39. Для схемы цепи рис. 17.5, а методом эквивалентного источни-

ка ЭДС найти ток в ветви резистора, сопротивление которого , если

Решение. Обозначим положительное направление искомого тока на исход-

ной схеме (см. рис. 17.5, а). Рассмотрим часть схемы, подключенную к исследу-

емой первой ветви (обведённую пунктирной линией), в качестве эквивалентно-

го источника ЭДС с сопротивлением . Нарисуем эквивалентную элект-

рическую схему с эквивалентным источником напряжения (см. рис. 17.5, б).

а б

в г д

Рис. 17.5

На схеме произвольно выбрано положительное направление ЭДС эквива-

лентного источника в точке p. Это позволяет записать для режима холос-

того хода эквивалентного источника с отключенной первой ветвью (см. рис. 17.5, в)

Развёрнутая схема эквивалентного источника в режиме холостого хода по-

казана на рис. 17.5, г. Во внутренних ветвях источника ток

Напряжение холостого хода определяет ЭДС источника:

Найдём сопротивление эквивалентного источника. Для подсчёта сопро-

тивления источника преобразуем его схему (см. рис. 17.5, г), заменив источник напряжения короткозамкнутым участком (рис. 17.5, д). Входное сопротив-

ление последней схемы является сопротивлением эквивалентного источника

Возвращаясь к схеме рис. 17.5, б, найдём искомый ток по закону Ома

Пример 40. Методами эквивалентного источника ЭДС и эквивалентного ис-

точника тока найти ток в ветви если

(рис.17.6, а).

а б в

Рис. 17.6

г д е

Рис. 17.6

Решение. 1. Расчёт методом эквивалентного источника ЭДС. Отключим ветвь с (см. рис. 17.6, б) и найдём её параметры оставшейся схемы − ЭДС (т.е. напряжение холостого хода между точками a и b) и сопротивление схемы рис. 17.6, в между точками a и b в режиме холостого хода при закороченных ЭДС и Схема эквивалентного источника ЭДС приведена на рис. 17.6, г. ЭДС эквивалентного источника и его сопротивление равны:

Искомый ток согласно формуле (17.3)

2. При расчёте методом эквивалентного источника тока ветвь закорачи-

ваем (см. рис. 17.6, д). Ток , проходящий по закороченной ветви ab, является током эквивалентного источника тока . Найдём его. Это можно сделать,

расcчитав двухузловую схему рис. 17.6, методом узловых потенциалов. При-

няв потенциал точек a и равным нулю найдём:

Для определения тока вычисляем и и по первому закону Кирх-

гофа определяем:

Сопротивление эквивалентного источника тока равно сопротивлению эквивалентного источника напряжения; однако его можно найти по выражению (17.4):

Из схемы эквивалентного источника тока (см. рис. 17.6, е) по формуле (17.5) находим искомый ток

Пример 41. В цепи (рис. 17.7) ток равен при разомкнутом ключе и при замкнутом. Определить параметры активного двухполюсника относи-

тельно полюсов 1 и 2 при значении параметров

Рис. 17.7

Решение. Решение основано на применении метода эквивалентного генера-

тора:

Ответ:

Пример 42. В цепи (рис.17.8) известны показания амперметров и

при различных положениях ключей и . При разомкнутых ключах и показания амперметров равны и соответственно. При замкнутых ключах и показания амперметров равны и Величины сопротивле-

ний

Рис. 17.8

Определить показания амперметров и при замкнутом ключе и разомкнутом ключе

Решение. Решение основано на использовании теорем об активном двухпо-

люснике и теоремы о линейных соотношениях.

В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе для токов, протека-

ющих через амперметр при различных положениях ключей и мож-но записать:

(17.1) (17.2) (17.3)

эдесь искомый ток.

Определяя из уравнений (17.1) и (17.2) значения параметров эквивалентного генетора и , из уравнения (17.3) найдём значение тока при разомк-

нутом ключе и замкнутом . Для вы-

числения воспользуемся принципом линейности, согласно которому измене-

нения всех токов связаны между собой простыми линейными уравнениями, ес-

ли это изменение токов вызвано изменением параметров (сопротивления или ЭДС) только одной ветви (или изменением тока в одном источнике тока). Та-

ким образом, для токов и можно записать Расписывая для различных положениях ключей и данное уравнение и определяя коэф-

фициенты a и , найдём искомое значение тока

(17.4) (17.5) (17.6)

или

Из формул (17.4), (17.5) определяем и из формулы (17.6) оп-

ределяем

Ответ: