8) Метод оценки левой и правой частей.

log₂ (2х - х² + 15) = х² - 2х + 5

Дадим оценку левой части уравнения. 2х - х² + 15 = - (х² - 2х - 15) = = - ((х² - 2х + 1) - 1 - 15) = - (х - 1) ² + 16  16. Тогда log₂ (2х - х² + 15)  4

Оценим правую часть уравнения. x² - 2х + 5 = (х² - 2х + 1) - 1 + 5 = (х - 1) ² + 4  4

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

Ответ: х = 1.

1) log₄ (6х - х ² + 7) = х² - 6х + 11 Отв.: х = 3

2) log₅ (8x - x ² + 9) = x² - 8x + 18 Отв.: х = 6

3) log₄ (2x - x ² + 3) = x ²- 2x + 2 Отв.: х = 1

4) log₂ (6x - x² - 5) = x ² - 6x + 11 Отв.: х = 3

9) Использование монотонности функции, подбор корней.

log₂ (2х - х² + 15) = х² - 2х + 5

Выполним замену 2x - x ² + 15 = t, t > 0. Тогда x² - 2x + 5 = 20 - t, значит

log₂ t = 20 - t

Функция y = log₂ t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16. Решив уравнение 2х - х² + 15 = 16, находим, что х = 1. Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.

10) Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

ОДЗ: (x - 15) cosx > 0.

Перейдем к уравнению , , .

Перейдем к равносильному уравнению (x - 15) (cos² x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos² x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2 k, kZ x =  + 2l, lZ

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2k, kZ, то (2 k - 15) l > 0,

2k > 15, заметим, что 15  5. Имеем k > 2,5 , kZ, k = 3, 4, 5, … .

3) если x =  + 2l, lZ, то ( + 2l - 15) (- 1) > 0,

 + 2l < 15, 2l < 15 - , заметим, что 15  5 . Имеем: l < 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2k (k = 3,4,5,6,…); х =  +21(1 = 1,0, -1,- 2,…).

Решение логарифмических неравенств

Методы решения аналогичны. Обязательно найти ООН и учитывать основание.

		или

1) log_4/3 > 0; ОДЗ: х

1) ; x 2) ; x

Ответ: x

2) log_xlog₂(4^x – 12) 1; ОДЗ: х > log₄13

x>1 по ОДЗ; log₂(4^x – 12) x; 4^x – 12 2^x; - 3 2^x 4; x 2 Ответ: x

3) log₂(x – 1) – log₂(x + 1) + log 2 > 0; ОДЗ: х > 1

Ответ: x > 3

4) log₃(4^x + 1) + log 3 > 2,5

h = log₃(4^x + 1); h + Ответ: x < log₄( - 1); x > 1,5

5) log_{x – 3}(x² – 7x + 51/4) < 1; ОДЗ: х > 3; x 4

а) x > 4; x² – 7x + 51/4 < x – 3; x² – 8x + 63/4 < 0;Д = 1; 3,5 < x < 4,5; 4 < x < 4,5

б) 3 < x < 4; x² – 7x + 51/4 > x – 3; x² – 8x + 63/4 > 0; x < 3,5 или х > 4,5; 3 < x < 3,5

Ответ: x

6) ; ОДЗ:

Ответ:

7)

Левая и правая части – положительные выражения. Прологарифмируем их.

. Решаем методом интервалов. знак не меняется;

Ответ:

8) Теорема о знаке логарифма: log _k(x)f(x). Знак этого логарифма равен знаку выражения (k(x) – 1)(f(x) – 1)

а) (x – 3)log_x1/2 0; ОДЗ: х > 0; x 1

(x – 3)(x – 1)(1/2 – 1) 0; (x – 3)(x – 1) 0; x Ответ: x

б) < 1; ОДЗ: x

< 0; (1 – x)(x² + 8x + 14) < 0; (1 – x)(x + 4 + )(x + 4 - ) < 0

Ответ: x