Решение показательных неравенств

Методы решения анaлогичны. Обязательно учитывать основание.

1) ; ОДЗ: х - 4; Ответ: х

2) Ответ: х > 2

3) 4^х - 5^2х – 10^х > 0

(2/5)^2x – (2/5)^x – 2 > 0; (2/5)^x < -1; (2/5)^x > 2; x < log_2/52 Ответ: х < log_2/52

4) 7^{х +2} - 7^{х + 1} + 7^х > 60

7^х (49 - 21 + 2) > 60; 7^х > 60; 7^х > 2; Ответ:

5) 5^{2x + 1} + 6^{x + 1} > 30 +

5^2x(5 – 6^x) - 6(5 – 6^x) > 0; (5 – 6^x)(5^2x – 6) > 0 Ответ: х

6) ; ( ) Ответ: х

7) ; ОДЗ: х 0

Ответ: х

8)

Ответ: х =

Основные способы решения логарифмических уравнений

При использовании формул: слева направо возможно сужение области определения. Следовательно, возможна потеря корней. Такое применение этих формул не рекомендуется.

При использовании этих формул справа налево возможно расширение области определения. Следовательно, возможно появление посторонних корней. Следовательно, необходимо делать проверку или находить ОДЗ.

1) Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.

а) log₃(x – 12) = 2; ; x = 21; Ответ: х = 21

б) log₁₁log₃log₂ = 0; (ОДЗ: х ) Отв:

2) Уравнения, решаемые с применением свойств логарифмов.

а) 2lg(x – 1) = 1/2 lgx⁵ - lg ; (ОДЗ:х > 1) (x – 1)² = x²; x = 1/2; Ответ: решений нет

б) lg(x³ + 1) – 0,5lg(x² + 2x + 1) = lg3; (ОДЗ: х > -1); x² – x – 2 = 0 ; x = -1; x = 2;Ответ: 2

в) log₅x² = 0; (ОДЗ: х 0); 1 сп.) х² = 1; х = ;2 сп.) 2lg Ответ:

г) = 2; ОДЗ: x < -5;x > -1 Применяем формулу справа налево.

Ответ: -15; 5

д) ; ОДЗ:

Ответ:

е) log_kx + log x + …+ log x = ; ОДЗ: х > 0;

log_kx(1+2+3+…+k)= Ответ: х =

ж) Использование свойства логарифмов:

1) х^lg9 + 9^lgx = 6; ОДЗ: х > 0

x^lg9 = 9^lgx = 6; 3^2lgx = 3; lgx = 1/2; Ответ: х =

2) ; ОДЗ:

Ответ:

з-1)

Ответ: если ; если

з-2)

Ответ: если ; если

и)

Ответ: если ; если если

3) Уравнения c логарифмами разных оснований приводятся к одному основанию.

а) ОДЗ: х > 0; (4log₃x = 6; log₃x = 3/2) Ответ: х = 3

б) log₃x + 2log_x3 = 3; ОДЗ: х > 0; x 1

log₃x = h; h + 2/h = 3;h = 1; x = 3; h = 2; x = 9; Ответ: х = 3; x = 9

4) Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобку.

log (x – 2)log₅x = 2log₃(x – 2); ОДЗ: х > 2

2log₃(x – 2)(log₅x – 1) = 0; x = 3; x = 5; Ответ: х = 3; x = 5

5) Уравнения вида решаются освобождением от дроби.

а) ; ОДЗ: х > 2; x 3; + проверка.

х³ – 5х² +19 = (х – 2)³; х = 3; х = 9 Ответ: х = 9

б) ; ОДЗ: х > 0; x 10 ^{– 1}; x 10⁵

lg²x – 5lgx + 6 = 0; lgx = 2; x = 100; lgx = 3; x = 1000 Ответ: х = 100; x = 1000

6) Уравнения второй (и более) степени относительно логарифма решаются введением новой переменной. ( logⁿ_ax^k = kⁿlogⁿ_ax )

log x³ – 17log₂x – 2 = 0 ; ОДЗ: х > 0

9 log x – 17log₂x – 2 = 0; log₂x = h; Д = 361 = 19²; h = -1/9;2 Ответ: х = 4; x = 2 ^{– 1/ 9}

7) Показательно-логарифмические уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей по одному основанию.

а) ; ОДЗ: х > 0

(log₃x – 4) log₃x = - 3; log₃x = 1; x = 3; log₃x = 3; x = 27 Ответ: х = 3; x = 27

б) 0,1 ; ОДЗ: х > 0

;(lgx – 3)lgx = 4;lgx = -1;x = 10 ^{– 1}; lgx = 4; x = 10000 Ответ: х = 0,1; x = 10000

в) ; ОДЗ: х > 0 (не пок.-лог., но тот же способ решения)

Ответ: х = 1; x = 4