Яковлева Елена Юрьевна

Основные способы решения уравнений и неравенств

10–11 классы

Оглавление

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 5

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 6

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 10

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 12

8) Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант). 16

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 18

20

20

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 21

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 31

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА – ПАРАМЕТРЫ 34

Основные способы решения показательных уравнений

1) Уравнения вида a^{f (x)} = 1 (a > 0; a 1). Решение: f(x) = 0

а) ; ОДЗ: х -2;2 Ответ: х = -2/3

б) ; ОДЗ: х 1; х 7/3

; х = 5/3 Ответ: х = 5/3

2) Уравнения вида a^{f (x)} = a^p(x) (a > 0; a 1). Решение: f(x) = р(х)

а) Ответ: х = 1

б) ; Ответ: х = 4

в) ; ОДЗ: х 0

Ответ: х = 3;-1/5

г) ; ОДЗ: х 0;

Ответ: х = 81

д) ; Ответ: х = 3

е) 2^{2 + 4 + 6 +…+ 2х} = (0,25) ^{– 15}

2 + 4 + … + 2х = 30; 1 + 2 +…+ х = 15 – ар.пр. S =

х² + х – 30 = 0; x = -6; 5 (-6 – не подходит по смыслу задачи) Ответ: х = 5

3) Уравнения, в которых в показателе степени перед неизвестным стоит один и тот же коэффициент, решаются вынесением за скобку общего множителя (чаще наименьшего)

3^{2х – 5} + 3^{2х – 7} + 3^{2х – 9} = 91

3^{2х – 9}(3⁴ + 3² + 1) = 91; 3^{2х – 9} = 1; х = 4,5 Ответ: х = 4,5

4) Уравнения вида: a^{f (x)} = b^{f (x)} (a > 0; b > 0; a 1; b 1; a b). Решение: (a/b)^{f (x)} = 1

а) ; Ответ: решений нет

б) 2^{8 – х} + 7^{3 – х} = 7^{4 – х} + 2^{3 – х}

2^{3 – х}(2⁵ – 11) = 7^{3 – х}(7 – 1); (2/7)^{3 – х} = 6/21; 3 – х = 1; х = 2 Ответ: х = 2

в)

Ответ: х =

5) Уравнения, сводящиеся к квадратным.

а)

б) ОДЗ:

Ответ: х = 1,5

в) 2^3х + 8 - 6 = 0

2^х(2^2х - 6 + 8) = 0; 2^х 0; 2^х = 2; х = 1; 2^х = 4; х = 2 Ответ: х = 1; х = 2

г) Ответ: х = 0

6) Однородные уравнения.

а) 2 - 3 - 5 = 0

(2/5)^2х - (2/5)^х – 5 = 0; Д = 49; (2/5)^х -1; (2/5)^х = 5/2; х = -1 Ответ: х = -1

б) 10^2/х + 25^1/х = 50^1/х; ОДЗ: х 0

(10/5)^2/х – 17/ (10/5)^1/х + 1 = 0;Д = 225;2^1/х = 4; х = 1/2;2^1/х = 1/4;х = -1/2 Ответ:х =

в) ; ОДЗ: х 0

Ответ: х =

7) Уравнения вида a^{f (x)} = b^{р (x)} (a > 0; b > 0; a 1; b 1; a b) решаются логарифмированием обеих частей по одному основанию.

а) 1 сп.) 2^{х – 3} = 3^х

lg 2^{х – 3} = lg 3^х; (x – 3)lg2 = xlg3; x = Ответ: х =

2 cп.) 2^{х – 3} = 3^х ; Ответ: х = (привести к одному показателю)

б)

в)

г)

8) Нестандартные способы решения.

а) 2^3х - ; Ответ: х = 1

б) (Разделить на )

Ответ: х = 2

в) - «завуалированное» обратное число

Ответ: х =

г) - использование монотонности

единственный корень уравнения Ответ: х =

д) - использование монотонности

Уравнение имеет не более одного корня х = 1 - проверка подтверждает. Ответ: х = 1

е) - использование монотонности

Уравнение имеет не более одного корня х = 1 - проверка подтверждает. Ответ: х = 1

ж)

1) х = 0 – левая часть не имеет смысла

2) ; Ответ: х =

з)

1) х = 1 – левая и правая части не имеют смысла

2) Ответ: х = 0; х = 2; х = 4