Пример постановки и решения задачи

Предприятию необходимо изготовить фанеру двух видов (марок ФК и ФСФ) в количестве и соответственно. Для этого необходимы материальные и трудовые ресурсы, представленные в табл. 1.1.

Таблица 1.1 – Наименование ресурсов

Ресурс	Норма расхода ресурса на 1 м3 фанеры марки		Общее количество ресурса
	ФК	ФСФ
Сырье березовое, м3	2,6	2,6	260
Смола фенолоформальдегидная, кг	-	90	2800
Смола карбамидоформальдегидная, кг	80	-	6000
Технологическая трудоемкость, чел.-ч	15	16	900

Прибыль от реализации 1 м³ фанеры марки ФК и ФСФ составляет 10 и 12 ден. ед. соответственно. Спрос на фанеру марки ФК составляет 50 м³ и марки ФСФ – 40 м³.

Решение начинаем с формирования математической модели в каноничеком виде:

-целевая функция

(1.11)

- система ограничений:

а) по запасам ресурсов:

-по березовому сырью ; (1.12)

- по фенолоформальдегидной смоле ; (1.13)

- по карбамидоформальдегидной смоле ; (1.14)

- по трудоемкости: ; (1.15)

б) по спросу на продукцию:

; (1.16)

в) на неотрицательность решения:

; (1.17)

В матрично – векторной форме модель оптимизации будет иметь вид:

1. вектор значений целевой функции

_(1.18)

б) вектор управляющих факторов

_{, (1.19)}

в) матрица значений ресурсов

_{, (1.20)}

_{г) вектор запасов ресурсов}

_{д) вектор контрольных цифр}

На этом шаге мы рассмотрим решение задачи линейного программирования в Microsoft Excel.

1. Осуществляем ввод данных в таблицу Excel (рис.1).

Рис.1 Заполнение листа для решения задачи

Для переменных задачи x₁ и x₂ отведены ячейки B3 и C3. Эти ячейки называются рабочими или изменяемыми ячейками. В изменяемые ячейки значения не заносятся, но в результате решения задачи в этих ячейках будет отражено оптимальное значение переменной.

В ячейку D4 вводится формула для вычисления целевой функции задачи (дохода) L = 10x₁ + 12x₂. Чтобы сделать это надо произвести следующие действия:

- поместить курсор в D4;

- вызвать Мастер функций и в появившемся окне выбрать «Математические» и «СУММПРОИЗВ» (рис. 2).

Рис. 2 Мастер функций, Шаг 1

В окне мастера функций нажать OK, в появившемся окне (рис.3) в поле «Массив 1» ввести (протаскивая курсор мыши по ячейкам) адреса изменяемых ячеек B3:C3. В поле «Массив 2» вводятся адреса ячеек содержащих прибыль от реализации 1 м³ фанеры B4:C4, после нажать OK.

Рис.3 Мастер функций, Шаг 2

В ячейку D8 вводится формула для вычисления израсходованного количества березового сырья: 2,6x₁ + 2,6x₂, а в ячейку D9 вводится формула для израсходованного количества смолы ФФ: 90x₂. В ячейку D10 вводится формула для израсходованного количества смолы КФ: 80x₁, а в ячейку D11 вводится формула для израсходованной технологической трудоемкости 15x₁+16 x₂. Эти формулы вводятся аналогично целевой функции.

В результате страница примет вид (рис.4):

Рис.4 Вид страницы после добавления формул

2) В меню «Данные» выбираем процедуру «Поиск решения». В появившемся окне (рис.5) нужно установить адрес целевой ячейки D4, значение целевой ячейки: максимальное, адреса изменяемых ячеек B3:C3.

Рис.5 Поиск решения

3) Чтобы ввести ограничения задачи, нажать кнопку «Добавить». В появившемся диалоговом окне слева ввести адрес D8 (израсходованное количество березового сырья), затем выбрать знак ≤ и в правой части количество березового сырья, равное 260 (или адрес ячейки E8). После ввода нажать кнопку «Добавить» и аналогично ввести второе и последующие ограничения.

Рис.6 Добавление ограничения

4) После ввода ограничений необходимо выбрать метод решения задачи «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». В результате получим следующий вид окна параметров поиска решения (рис.7):

Рис.7 Результат добавления ограничений

5) Для решения задачи в окне «Параметры поиска решения» нажать кнопку «Найти решение». Если решение найдено появляется окно (рис. 8).

Рис.8 Результаты поиска решения

6) Для просмотра результатов выбираем тип отчета: «Результаты» и нажимаем кнопку ОК. «Отчет по результатам» состоит из трех таблиц (рис. 9):

- в таблице 1 приводятся сведения о целевой функции;

- в таблице 2 приводятся значения переменных задачи;

- в таблице 3 показаны результаты поиска для ограничений задачи.

Рис.9 Отчет Результаты

Анализируя данные таблицы можно увидеть, что максимальная прибыль, равная 641,5 ден.ед., будет получена при изготовлении реализации фанеры марки ФК в объеме 26,8 м³ и марки ФСФ в объеме 31,1 м³. При производстве полностью будет использована фенолоформальдегидная смола и трудоемкость. Неиспользованными останутся березовое сырье в объеме 109,4 м³ карбамидоформальдегидная смола в объеме 3854,8 кг.