5. Задача о реконструкции Общие сведения

При построении моделей различных объектов иногда оказывается, что к некоторым переменным следует предъявить дополнительные требования дискретности или целочисленности. С моделями таких задач уже рассматривались выше. Так, при рассмотрении задачи о составлении оптимального плана раскроя пиловочного сырья следовало бы потребовать, чтобы значения переменных x₁, x₂, ...x_n, полученные по результатам решения, были целыми числами, поскольку они означают количество распиливаемых бревен.

В подобных ситуациях часто поступают следующим образом. На этапе решения задачи «забывают» про дискретность переменных и решают ее как обычную задачу линейного или нелинейного программирования. Получив оптимальное решение, округляют те значения переменных, которые должны быть целочисленными до ближайшего целого числа. Этот прием может быть оправдан, когда переменные, заданные дискретно, в процессе округления изменяются на относительно малую величину и можно пренебречь погрешностями округления. Недостаток такого подхода заключается в том, что оптимальным может быть не ближайшее число, а более далекое допустимое решение с округленными значениями переменных. Более того, ближайшее округленное решение может вообще не принадлежать ОДР.

Очевидна, необходимость отдельного изучения методов решения задач оптимизации с дискретными или целочисленными переменными.

Задачи математического программирования, в которых ко всем или некоторым переменным предъявляют дополнительные требования целочисленности, называют задачами целочисленного программирования.

К моделям целочисленного программирования сводится целый ряд важных задач оптимизации, в том числе и в деревообработке. Рассмотрим некоторые из них.

Алгоритм решения задачи Постановка задачи

Имеется Р предприятий отрасли, выпускающих однородную продукцию и подлежащих реконструкции. Для каждого из них разработано несколько вариантов реконструкции. Эти варианты являются взаимоисключающими: для каждого предприятия может быть реализован лишь один вариант. Для каждого варианта известен объем выпуска продукции и приведенные затраты по его реализации. Требуется выбрать вариант реконструкции для каждого предприятия так, чтобы общий выпуск продукции всеми предприятиями был не менее заданной величины В, а суммарные затраты на реконструкцию минимальными.

Введем обозначения: N_i – количество вариантов реконструкции для i-ого предприятия (i=1,…,Р); а_ij – объем выпуска продукции i-м предприятием при реализации j-ого варианта реконструкции; З_ij – затраты на реконструкцию по j-му варианту для i-ого предприятия, (j=1,…, N_i; i=1,…,Р).

Построение математической модели

Целевая функция:

(5.1)

В качестве ограничений выступают:

а) объем выпуска продукции всеми предприятиями:

(5.2)

б) реализация только одного варианта реконструкции для каждого предприятия:

, (5.3)

В качестве элементов решения введем целочисленные переменные следующим образом:

(5.4)