3. Пример постановки и решения задачи

Предприятию необходимо изготовить фанеру двух видов (марок ФК и ФСФ) в количестве и соответственно. Для этого необходимы материальные и трудовые ресурсы, представленные в табл. 2.2.

Таблица 2.2 – Наименование ресурсов

Ресурс	Норма расхода ресурса на 1 м3 фанеры марки		Общее количество ресурса
	ФК	ФСФ
Сырье березовое, м3	2,6	2,6	260
Смола фенолоформальдегидная, кг	-	90	2800
Смола карбамидоформальдегидная, кг	80	-	6000
Технологическая трудоемкость, чел.-ч	15	16	900

Прибыль от реализации 1 м³ фанеры марки ФК и ФСФ составляет 10 и 12 ден. ед. соответственно. Спрос на фанеру марки ФК составляет 50 м³ и марки ФСФ – 40 м³.

Решение начинаем с формирования математической модели.

Целевая функция

(2.13)

Ограничения:

1) по запасам ресурсов:

-по березовому сырью ; (2.14)

- по фенолоформальдегидной смоле ; (2.15)

- по карбамидоформальдегидной смоле ; (2.16)

- по трудоемкости: ; (2.17)

2) по спросу на продукцию:

; (2.18)

3) на неотрицательность решения:

; (2.19)

В матрично – векторной форме модель оптимизации будет иметь вид:

1. вектор значений целевой функции

_(2.20)

2. вектор управляющих факторов

_{, (2.21)}

3. матрица значений ресурсов

_{, (2.22)}

4. _{вектор запасов ресурсов}

5. _{вектор контрольных цифр}

Итак, получена первоначальная модель задачи, состоящая из целевой функции и восьми ограничений. Математически задачу можно сформулировать следующим образом. При решении системы неравенств (2.14)-(2.18) необходимо найти такие значения переменных, при которых целевая функция (2.13) принимает максимальное значение.

Для решения графическим методом построим на координатной плоскости прямые, соответствующие ограничениям задачи (рис. 2.2), записанным в виде равенств:

(прямая 1)

(прямая 2)

(прямая 3)

(прямая 4)

(прямая 5)

(прямая 6)

(прямая 7)

(прямая 8)

Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Координаты любой точки, принадлежащей одной из них, удовлетворяют исходному неравенству, координаты точек другой полуплоскости – нет. Стрелками показаны полуплоскости, в которых условия неравенств выполняются. Можно видеть, что все они одновременно выполняются только в заштрихованной области (многоугольник ОАВСD). Следовательно, данная область является областью допустимых решений (ОДР), т.е. решение задачи находится в точке принадлежащей многоугольнику ОАВСD.

Итак, все точки области ОАВСD удовлетворяют всем ограничениям математической модели задачи, но лишь в одной из этих точек целевая функция принимает максимальное значение. Для того чтобы найти точку максимума функции , необходимо построить градиент функции , т.е.

вектор, который показывает направление наиболее быстрого возрастания функции. Данный вектор проходит через точку (0;0) и точку (10;12). Теперь необходимо построить прямую целевой функции выбрав любое значение при котором прямая имеет общие точки с областью допустимых решений. Так, например, на рис.2.2 построена прямая целевой функции при значении Перемещаем данную прямую в направлении вектора до пересечения с последней точкой многоугольника ОАВСD. В рассмотренном примере это точка В, координаты которой являются решением задачи. Их находят путем совместного решения уравнений прямых, на пересечении которых находится точка В, т.е. прямой 2 и прямой 4:

;

.

При решении системы уравнений получаем ; .

Вычислим целевую функцию при данных значениях переменных:

.

Итак, максимальная прибыль равна 641,2 ден.ед., будет получена при изготовлении фанеры марки ФК в объеме 26,8 м³ и марки ФСФ в объеме 31,1 м³.

Теперь решим эту же задачу симплекс-методом. В условии задачи ограничения (2.14) - (2.19) представлены в виде линейных неравенств. Преобразуем их в эквивалентные уравнения. Для этого в неравенства введем дополнительные переменные . Тогда ограничения примут вид линейных уравнений:

;

Экономическое содержание дополнительных переменных в данном случае следующее. Переменные – это неиспользованные ресурсы соответственно березового сырья, фенолоформальдегидной смолы, карбамидоформальдегидной смолы и технологической трудоемкости. Переменные - выполнение условий по ограничению выпуска продукции в связи с ее спросом и наличием на предприятии ресурсов.

Дополнительные переменные, так же как и основные, должны быть неотрицательны.

Целевая функция в условии задачи, приведенная к каноническому виду, представляется в расширенном виде:

.

Таблица-2.3 Первая итерация

			10	12	0	0	0	0	0	0	β
0		260	2,6	2,6	1	0	0	0	0	0	100
0		2800	0	90	0	1	0	0	0	0	31,1
0		6000	80	0	0	0	1	0	0	0	-
0		900	15	16	0	0	0	1	0	0	56,25
0		50	1	0	0	0	0	0	1	0	-
0		40	0	1	0	0	0	0	0	1	40
	L=0		-10	-12	0	0	0	0	0	0

Представленная система линейных уравнений (2…)-(2…) имеет множество решений. Нас интересует лишь такое, которое обеспечивало бы получение максимальной суммарной прибыли от реализации продукции. Поэтому задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такое неотрицательное решение системы линейных уравнений, при котором целевая функция достигает максимального значения.

Решение задачи симплекс-методом представлено в табл. 2.3-2.5.

Таблица-2.4 Вторая итерация

			10	12	0	0	0	0	0	0	β
0		179	2,6	0	1	-0,03	0	0	0	0	68,8
12		31,1	0	1	0	0,01	0	0	0	0	-
0		6000	80	0	0	0	1	0	0	0	75
0		402,2	15	0	0	-0,18	0	1	0	0	26,8
0		50	1	0	0	0	0	0	1	0	50
0		8,9	0	0	0	-0,01	0	0	0	1	-
L=373,3			-10	0	0	0,13	0	0	0	0

Таблица-2.5 Третья итерация

			10	12	0	0	0	0	0	0	β
0		109,3
12		31,1
0		3854,9
10		26,8
0		23,2
0		8,9
L=641,2			0	0	0	0,015	0	0,67	0	0

Анализируя данные табл. 2.4, можно увидеть, что максимальная прибыль, равная 641,2 ден.ед., будет получена при изготовлении реализации фанеры марки ФК в объеме 26,8 м³ и марки ФСФ в объеме 31,1 м³. При производстве полностью будет использована фенолоформальдегидная смола и трудоемкость . Неиспользованными останутся березовое сырье в объеме 109,3 м3 и карбамидоформальдегидная смола в объеме 3854,9 кг. Спрос на фанеру марки ФК будет удовлетворен на 53,6%, а на фанеру марки ФСФ – на 77,8%.