НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

Примечание.

Заслушиваются доклады и сообщения, предварительно подготов­ленные студентами, на темы: «Возникновение и развитие нумера­ции», «Системы счисления разных народов», «Запись чисел в Древней Руси», «Происхождение десятичной системы счисления».

5.6. Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и введением по­нятия нуля. Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятич­ную систему арабы, поэтому ее часто называют арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел использу­ются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение

цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5437 — краткая запись числа «пять тысяч четыреста тридцать семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000+400+30+7 или: 5 • 10³+4 • 10²+3 • 10+7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х=а_п ■ 10^п+а_пА ■ Ю"’¹+...+<*, • Ю'+яо ' Ю°,

где а_п, а„._х, ..., а_{, а₀ принимают значения: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и

Числа 1, 10, 10², 10³, ..., 10"'¹, 10” называются разрядными едини­цами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

Краткая запись числа выглядит так: а_па_пЛ ...a_{a_Q .

Данная система записи чисел называется десятичной, так как 10 является основанием системы, то есть 10 единиц одного разряда со­ставляют 1 единицу следующего разряда.

В целях подготовки к усвоению десятичной системы счисления старшие дошкольники знакомятся с цифрами, учатся считать груп­пами (в том числе десятками). Младшие школьники, знакомясь с десятичной системой счисления, выполняют задание: «Представь число в виде суммы разрядных слагаемых», учатся называть разряды и классы.

Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три раз­ряда — класс тысяч, затем идет класс миллионов и др. (рис. 91).

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок,

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рас­сматривать уже с дошкольниками. Например.

1. «Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть «дцатъ». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек — «один на дцатъ».

2. «Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «два дцатъ».

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

Задание 69

• Представьте число 345 679 в виде суммы разрядных слагаемых.

• Покажите краткую запись числа 8- 10*+6-10+8.

• Запишите наибольшее и наименьшее трехзначные числа.

• Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем десятков в два

раза больше единиц. Найдите это число.

В десятичной системе счисления действия с многозначными числами выполняют по правилам, называемым алгоритмами. За­пись сложения, вычитания и умножения выполняют столбиком, а деления — уголком, это умение становится доступным уже младшим школьникам. В основе вычислений лежат некоторые теоретические знания. Например, при сложении используются:

• способ записи числа в десятичной системе счисления;

• законы сложения;

• таблица сложения однозначных чисел.

Задание 70

Вспомните правила сложения, вычитания, умножения, деления

многозначных чисел в десятичной системе счисления. Приведите

примеры.

8 - 7975

Вопросы для самоконтроля к теме № 5

1. Назовите этапы развития понятия числа.

2. Назовите функции натурального числа.

3. Что называют натуральным рядом?

4. Какие функции натурального ряда вы знаете?

5. Что называют отрезком натурального ряда NJ

6. Что такое счет?

7. Для чего служит счет?

8. Чем является натуральное число с теоретико-множественных пози­ций?

9. Что такое нуль с теоретико-множественных позиций?

10. Каков смысл отношения «меньше» с теоретико-множественной точки зрения?

11. Каков смысл суммы целых неотрицательных чисел с теорети­ко-множественных позиций?

12. Каков смысл разности целых неотрицательных чисел с теорети- ко-множественных позиций?

13. Каков смысл натурального числа, полученного в результате изме­рения длины отрезка?

14. Каков смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения длины отрезка?

15. Каков смысл разности натуральных чисел, полученных в результа­те измерения длины отрезка?

16. Что такое система счисления?

17. Какие системы счисления называются позиционными?

18. Какие системы счисления называются непозиционными?

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛАМ НУЛЬ

19. Что называется десятичной записью числа?

Задания для самостоятельной работы к теме №5

1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:

• непосредственное сравнение множеств,

• опосредованное сравнение множеств,

• сравнение множеств на основе счета,

• запись чисел и действий.

2. Придумайте правила счета для дошкольников в целях пре­дотвращения ошибок.

3. Сформулируйте вопросы дошкольникам с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом смысле числа.

4. Выполните перевод записи числа в другую систему счисления: а) 1769 в римскую; 6) MDCCCLXXVI в десятичную.

5. Придумайте диалог с младшими школьниками, показывающий про­исхождение названий чисел второго десятка и круглых чисел в преде­лах 100.

6. Найдите в энциклопедиях названия классов и их значение в десяти­чной системе счисления и продолжите последовательность: единицы, тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион, квинтиллион, ..., гугол.

7. Подготовьте сообщения на темы:

• «Как люди научились считать»,

• «Возникновение и развитие нумерации»,

• «Системы счисления разных народов»,

• «Запись чисел в Древней Руси»,

• «Происхождение десятичной системы счисления».