НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

мость порядкового номера элемента множества от направления счета.

При построении теории натуральных чисел одним из основных понятий принято отношение «непосредственно следовать за», также используются теоретико-множественные понятия и правила логики.

При изучении числового ряда детей учат называть следующее число, предшествующее число, соседние числа.

Если натуральное число b непосредственно следует за натураль­ным числом а, то число а называется непосредственно предшествую­щим числу Ь.

Числа а и b называются соседними числами.

Если к числу прибавить 1, то получится следующее число.

Старшие дошкольники знакомятся с отношениями между чис­лами «больше» и «меньше», операциями над натуральными числами сложением и вычитанием, а младшие школьники — с названиями компонентов этих действий.

5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в за­висимости от числа элементов в них, то есть в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей при­роде, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное натураль­ное число есть общее свойство класса конечных равномощных мно­жеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу — только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например, множества:

• множество пальцев на руке,

• множество букв в слове «число»,

• множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ни­ми. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного клас­са, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Следовательно, «пять» — это общее свой­

ство множеств, равномощных, например, множеству пальцев на руке у человека.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

Примеры: 1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором — воз­можны различные варианты выполнения задания.

Задание 64

Приведите примеры множеств, общее свойство которых есть чис­ло 4.

Число «нуль» не является натуральным. С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества. Например, множество углов у круга является пустым.

Знакомя детей с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число. Например:

• На рисунке изображены три фигуры.

• На столе лежат три яблока.

• Маша, Коля, Вася — это три имени.

• Число «три» записывают цифрой 3.

Так как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рас­сматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание — с дополнением подмножества.

Пусть а — число элементов в множестве А, b — число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой на­туральных чисел а и b называют число элементов в объединении мно­жеств А и В.

Рассмотрим пример. Пусть 2 — число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух красных яблок), 3 — число эле­ментов в множестве В (В может быть множеством из трех зеленых яблок). Множества А и В не имеют общих элементов. Тогда сумма 2+3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если найти значение выражения 2+3, то можно записать раве­нство 2+3=5.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

Задание 65

1. Используя круги Эйлера, проиллюстрируйте переместительный и сочетательный законы сложения.

2. Если 0 — число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а+0?

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с мно­жествами. Например, чтобы установить отношение 3<4, достаточно показать, используя прием приложения (рис. 88), что для одного квадрата нет соответствующего треугольника, то есть в данной ситу­ации в множестве квадратов можно выделить подмножество, равно­мощное множеству треугольников.

Пусть а — число элементов в множестве А, b — число элементов в множестве В. Если множество А равномощно подмножеству множес­тва В, то а<Ь или Ь>а. Если множества А и В равномощны, то а—Ь.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнением

Рис. 88

подмножества.

Пусть В — подмножество множества А, а — число элементов в множестве А, b — число элементов в множестве В. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Например, смысл разности 5—3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадратов, яблок и др.). Выделим из множества А подмножество В, в котором 3 элемента. Тогда 5—3 будет представлять число элементов в дополне­нии множества В до множества А. Если найти значение разности 5—3, то можно записать равенство 5-3=2.

Задание 66

Каков теоретико-множественный смысл разности: а) а-0; б) a—а?