Международный
университет природы, общества и человека
«Дубна»
Кафедра высшей математики
Г. А. Емельяненко
КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
по линейной алгебре
и аналитической геометрии
Методическое пособие
Дубна, 1999
ББК 22.151.5я73
Е60-1
Рекомендовано к изданию методическим советом университета «Дубна» в качестве методического пособия дпя студентов университета «Дубна»
Емельяненко Г.А.
60-1Курсовое проектирование по линейной алгебре и аналитической геометрии. Методическое пособие.— Дубна: Международный университет природы, общест ва и человека «Дубна», 1999.— 32 с.
ISBN 5—89847—019—0
Настоящее методическое пособие содержит необходимые теоретические сведения по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, помогающие студентам е выпол нении курсовой работы на тему «Исследование кривых и поверхностей второго порядках.
Студенты университета «Дубна» выполняют данную курсовую работу в первом се местре, используя современные компьютерные технологии.
В приложении приведен образец выполнения курсовой работы.
Рецензенты:
ст.преподаватели кафедры высшей математики Л.В.Бобылева и Л.С.Брюхина
Редактор: В. Г. Черепанова
Технический редактор: Г.А.Володина
ЛР № 040863 от 16.12.97 г.
Рукопись поступила 16.09.99. Подписано в печать 05.11.99 Формат 60x84/16. Компьютерная верстка. Гарнитура «Times» Печать офсетная. Усл. печ. л. 2 Тираж 150 экз. Заказ № 59S
Отпечатано в Дубненской типографии Упрполиграфиздата г.Дубна, ул. Курчатова, 2а. Тел. 4-03-26, 4-73-03
© Г.А. Емельяненко, 1999
Isbn 5—89847—019—0
© Международный университет природы,
общества и человека «Дубна», 1999
Введение
Целью курсовой работы по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему «Исследование кривых и поверхностей второго порядка», выполняемой студен тами первого курса университета «Дубна» в первом семестре, является закрепление и углубление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка и их сечений.
Для эффективного достижения поставленной цели в работе использована стра тегия, которую условно можно назвать «комбинированным анализом». Суть такого подхода заключается в использовании как техники алгебраических преобразований (выделение полных квадратов, поворот осей и перенос начала координат) при переходе от общей алгебраической формы записи уравнений кривых и поверхностей второго по рядка к их каноническим эквивалентам, так и в применении комбинаторного анализа (на основе свойств инвариантов) при восстановлении алгебраической формы уравнений указанных геометрических объектов по их каноническому виду.
При этом достигается возможность максимальной самостоятельности студента в выборе (генерации) «уровня сложности» своей курсовой работы, а также в демонстра ции своих математических, программистских и системных знаний. Это, в свою оче редь, дает возможность преподавателям оценить реальный уровень подготовки студен та по всему кругу вопросов, связанных с курсовой работой.
4
§1. Кривые второго порядка, их инварианты и классификация
1°. Общий вид уравнений кривых второго порядка в декартовой системе коорди нат хОу на плоскости:
где А, В, С, ..., F— вещественные числа.
2°. Величины, не меняющиеся при переносе начала и повороте осей системы коор динат (инварианты):
Инвариант
(а
иногда
)
называют дискриминантом уравнения (1).
Величина
является
инвариантом только относительно поворота
осей координат.
3°.
Связь
инвариантов с
— корнями характеристического уравнения:
40. Классификация кривых второго порядка с использованием инвариантов (тип кривой в зависимости от значений инвариантов).
Таблица 1
6 . Канонический вид уравнений некоторых кривых второго порядка. (Связь параметров кривых с инвариантами и характеристическими числами.)
Таблица 2
Полярная система координат:
— полярный радиус,
— полярный угол.
§2. Поверхности второго порядка, их инварианты и классификация
1 0 . Общий вид уравнения поверхности второго порядка:
2 . Величины, не меняющиеся при переносе начала и повороте осей координат (инварианты).
Для
любого уравнения (1) следующие четыре
величины
являются инвариантами относительно
параллельного переноса и поворота осей.
Эти инварианты определяют свойства
поверхности, не зависящие от ее положения
в пространстве. Де терминант
называется дискриминантом уравнения
(1).
