Вариант 21

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г)  д)

_№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям ,

Вариант 22

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

_№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 23

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г)  д)

_№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 24

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г)  д)

_№3

Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 25

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г)  д)

_№3

Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Примерные решения некоторых тематических задач Элементы линейной алгебры.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Гаусса; б) с помощью определителей;

Решение

а) Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на (–5) и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

(1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

(2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) переменную х₂. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на (-7) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда x₃ = 3, х₂ = 1 и х₁ = –2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, то есть матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид:

.

Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Элементы второй строки умножим на (–7) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

б) Составим и вычислим следующие определители системы. Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных:

Аналогично вычисляем , полученный из заменой первого столбца столбцом свободных коэффициентов: , и .

Тогда решения системы найдём по формулам: , , .