Теорія автоматичного керування

Лекції

Змістовий модуль 2

Лекція 4. Математичні моделі вхід-вихід (ВВ)

• 4.1. Математичне моделювання.

• 4.2. Моделі ВВ для одноканальних систем.

• 4.3. Передавальна функція.

• 4.4. Моделі ВВ багатоканальних систем.

• 4.5. Моделі ВВ збурених систем.

4.1. Математичне моделювання

• Для того, щоб управляти яким-небудь об'єктом, необхідно знати як пов'язані вхідні і вихідні змінні. При зміні інформації на вході об'єкта змінюється його внутрішній стан і, як наслідок, виходи. Це означає, що існує деяке правило, за яким елемент перетворює вхідні змінні и в вихідні y: y = А [и]. Це правило, по суті, являє собою деяку модель об'єкта.

• Математичною моделлю динамічної системи прийнято називати сукупність математичних символів, що однозначно визначають розвиток процесів у системі, тобто її рух.

• В залежності від використовуваних символів розрізняють аналітичні та графоаналітичні моделі. Аналітичні моделі будуються з допомогою буквених символів, графоаналітичні - допускають застосування графічних позначень.

Типи моделей
В залежності від використовуваних символів	аналітичні
	графоаналітичні
В залежності від типу сигналів	безперервні
	дискретні
В залежності від використовуваних операторів	лінійні
	нелінійні
В залежності від використовуваних операторів	часові
	частотні
У залежності від способу отримання	теоретичні
	експериментальні

4.2. Моделі вв для одноканальних систем

Модель вхід-вихід (ВВ) - це опис зв'язку вхідних і вихідних сигналів динамічної системи.
При описанні системи керування в цілому вхідним сигналом САК служить завдання y*(t) = g (t), а вихідним - змінна y (t).	y(t) g(t) САК
При описанні об'єкта керування вхідним сигналом є керуючий вплив u(t), а вихідним - регульована змінна y (t). Для інших блоків – можливо замість u(t) → х(t) або інш.	OK y(t) u(t)

• Лінійна модель вхід-вихід одноканальної

динамічної системи

(4.1)

, -коефіцієнти (параметри моделі), 0 ≤ m <n, n-порядок моделі, , .

(4.1) - лінійне неоднорідне диференційне рівняння n-го порядку.

Права частина цього рівняння визначає зовнішню дію на систему.

Cтаціонарні системи - значення параметрів незмінні:

, .

Нестаціонарні системи - параметри є функціями часу,

.

У разі, коли , рівняння (4.1) називається приведеним.

• Для спрощення застосовують операторну форму.

• Оператор диференціювання , .

• Рівняння ВВ (4.1) в операторній формі:

= . (4.2)

Або (4.3)

де a , (4.4)

b . (4.5)

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференційного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння і частинного рішення неоднорідного рівняння:

Відповідне однорідне рівняння:

0.

Однорідне рівняння описує динаміку системи при умові, що зовнішня дія на неї відсутня. Для його вирішення використовують підстановку Ейлера, а саме:

Ця підстановка приводить розв’язання лінійного диференційного рівняння до алгебраїчного рівняння

exp(pt)=0.

Або = 0. (4.6)

У виразі а(p) і b(p) мають спеціальні назви.

а(р) - характеристичний поліном диференціального рівняння (4.1) або власний оператор

a .

Корені рівняння (4.6) а(р)=0 називають полюсами системи (4.1).

У загальному випадку рівняння а(р)=0 має п комплексних коренів .

b(p) -характеристичний поліном правої частини (4.1)

або оператор дії:

b .

Корені рівняння b(р)=0 називають нулями системи (4.1).

У загальному випадку рівняння b(р)=0 має m комплексних коренів .