5.2. Мінімальна диз’юнктивна нормальна форма (мднф)

Мінімальна диз’юнктивна нормальна форма записується як диз’юнкція елементарних кон’юнкцій, що відповідають виділеним блокам одиниць на карті Карно.

Для отримання МДНФ необхідно виконати такі дії:

- заносимо одиничні значення функції в карту Карно;

- створюємо ПК за одиничними значеннями. Одиниці, які ввійшли на попередніх кроках в одну із кон’юнкцій, вважаємо покритими. Із непокритих і покритих одиниць створюємо наступну кон’юнкцію, покриваючи максимальну кількість непокритих одиниць. Нову кон’юнкцію тільки із покритих одиниць створювати не потрібно. Процес завершується, коли покриті всі одиниці;

- описуємо всі ПК за допомогою таблиці;

- для кожної ПК складаємо кон’юнкцію змінних, від яких вона залежить.

Якщо змінна для даної ПК приймає одиничне значення, то вона береться в прямому вигляді, а інакше – в інверсному:

- об’єднуємо за допомогою операції диз’юнкції всі описані ПК:

. (5.1)

і отримуємо мінімальну диз’юнктивну нормальну форму.

Приклад 3. Функція f₃ задана таблицею істинності (табл. 5.7). Побудувати МДНФ.

Таблиця 5.7 – Таблиця істинності функції f₃

х1	х2	х3	f3
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Заносимо одиничні значення функції f₃ в карту Карно.

ПК₂¹

х₁ ПК₁²

х2	6	1 7	1 3	1 2
	4	5	1 1	1 0

х₃

Об’єднуємо клітинки 0, 1, 2 і 3 в ПК₁² , а клітинки 3 і 7 в ПК₂¹. Правильні конфігурації описуємо за допомогою табл. 5.8.

Таблиця 5.8 – Опис значень змінних для правильних конфігурацій за одиничними значеннями функції f₃

Правильні Конфігурації	Значення змінних
	х1	х2	х3
ПК12	0	–	–
ПК21	–	1	1

ПК₁² описується тільки однією змінною, а саме . ПК₂¹ описується добутком змінних х₂ і х₃ Об’єднавши за допомогою операції диз’юнкції отримані описи ПК, отримаємо МДНФ:

f_3мднф =.

5.3. Мінімальна кон’юктивна нормальна форма (мкнф)

Мінімальна кон’юктивна нормальна форма записується як кон’юнкція елементарних диз’юнкцій , що відповідають виділеним блокам нулів на карті Карно.

Для отримання МКНФ необхідно виконати такі дії:

- заносимо нульові значення функції в карту Карно;

- створюємо ПК за нульовим значеннями. Нулі, які ввійшли на попередніх кроках в одну із диз’юнкцій, вважаємо покритими. Із непокритих і покритих нулів створюємо наступну диз’юнкцію, покриваючи максимальну кількість непокритих нулів. Нову диз’юнкцію тільки із покритих нулів створювати не потрібно. Процес завершується тоді, коли покриті всі нулі;

- описуємо всі ПК за допомогою таблиці;

- для кожної ПК складаємо диз’юнкцію змінних, від яких вона залежить.

Якщо змінна для даної ПК приймає нульове значення, то вона береться в прямому вигляді, а інакше – в інверсному:

- об’єднуємо за допомогою операції кон’юнкції всі описані ПК:

(5.2)

і отримуємо мінімальну кон’юнктивну нормальну форму.

Приклад 4. Функція f₄ задана таблицею істинності (табл.5.9). Побудувати МКНФ.

Таблиця 5.9 – Таблиця істинності функції f₄

х1	х2	х3	f4
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Заносимо нульові значення функції f₄ в карту Карно.

ПК₁¹

х₁ ПК₂¹

х2	6	7	0 3	0 2
	4	0 5	1	0 0

ПК₃⁰ х₃

Об’єднуємо клітинки 2 і 3 в ПК₁¹ , клітинки 0 і 2 – в ПК₂¹, а клітинку 5 – в ПК₃⁰. Правильні конфігурації описуємо за допомогою табл. 5.10.

Таблиця 5.10 – Опис значень змінних для правильних конфігурацій за нульовими значеннями функції f₄

Правильні конфігурації	Значення змінних
	х1	х2	Х3
ПК11	0	1	–
ПК21	0	–	0
ПК30	1	0	1

ПК₁¹ описується як диз’юнкція . ПК₂¹ описується як диз’юнкція змінних . ПК₃⁰ описується як диз’юнкція змінних . Об’єднавши за допомогою операції кон’юнкції отримані описи ПК, отримаємо МКНФ:

f_4мкнф = () () ().