I  aAi  aAai  abAi  abbI  abba.

10.4.3. Граматики типу 2. Граматики типу 2 називають контекстно вільними (кв) граматиками, або безконтекстними граматиками.

Правила виведення таких граматик мають вигляд:

A ,

де A V_a і (V_т  V_a).

Очевидно, що ці правила випливають із правил граматики типу 1 за умови, що ₁ = ₂ = $. Оскільки контекстні умови відсутні, то правила КВ–граматик виходять простіші, ніж правила граматик типу 1. Саме такі граматики використовують для опису мов програмування. Прикладом КВ–граматики може служити така граматика.

Г_10.5: V_т = {a, b}, V_a = {I},

R = {I aIa (1)

I bIb (2)

I aа (3)

I bb}. (4)

Ця граматика породжує мову, що складається з ланцюжків, кожний з яких у свою чергу складається з двох частин: ланцюжка V_т і дзеркального відображення цього ланцюжка '.

За допомогою правил цієї граматики може бути побудований, наприклад, ланцюжок:

I aIa abIba abaIaba ababbaba.

10.4.4. Граматики типу 3. Граматики типу 3 називають автоматними граматиками (а-граматиками). Правила виведення в таких граматиках мають вигляд:

Aa, або AaB, або ABa,

де a V_т, і A, BV_a, причому граматика може мати тільки правила вигляду A aB – правосторонні правила, або тільки вигляду A Ba – лівосторонні правила. Прикладами автоматних граматик можуть бути правостороння граматика Г_10.6 і лівостороння граматика Г_10.7.

Г_10.6: V_т = {a, b}, V_a = {I, A, Z},

R = {I  aI (1)

I aA (2)

A bA (3)

A aZ (4)

A bZ (5)

Z $}. (6)

Г_10.7: V_т = {a, b}, V_a = {I, A, Z},

R = {I Ab (1)

A Ab (2)

A Za (3)

Z Za (4)

Z $}. (5)

Ці граматики є еквівалентними і породжують мову

L(Г₇) = {a...ab...b | n, m 0}.

Між множинами мов різних типів існує відношення включення:

{L _{типу 3}}  {L _{типу 2}}  {L _{типу 1}}  {L _{типу 0}}.

Доведено, що існують: мови типу 0, що не є мовами типу 1; мови типу 2, що не є мовами типу 1; мови типу 3, які не є мовами типу 2.

З огляду на те, що найбільш практично застосовуються граматики типу 2 і типу 3, подальший виклад присвячується розгляду саме цих типів граматик.

10.5. Виведення у кв-граматиках і правила побудови дерева виведення

Формальні граматики дозволяють задавати мови, що являють собою множину ланцюжків, побудованих за визначеними правилами. Використовуваний спосіб завдання дозволяє будь-як побудувати ланцюжок, що належить мові. Щоб зробити процес побудови, що називається наочним виведенням, його зображають у вигляді графа, точніше, у вигляді дерева, яке називають синтаксичним деревом, або деревом виведення. З огляду на те, що виведення будь-якого ланцюжка, який належить мові, породжуваній заданою граматикою, повинно починатися з початкового символу, правила побудови дерева можна сформулювати так:

1) як початок чи вершину кореня дерева візьмемо вершину, яку позначимо початковим символом граматики I; ця вершина утворить нульовий ярус дерева;

2) якщо при виведенні ланцюжка, на черговому кроці використовується правило граматики A, і вершина, позначена нетермінальним символом A, розташована на ярусі з номером k – 1, то до побудованого дерева потрібно додати стільки вершин, скільки міститься символів у ланцюжку ; треба розташувати ці вершини на ярусі k , позначити їх символами ланцюжка  і з'єднати ці вершини дугами з вершиною A.

Результатом виведення по дереву є множина кінцевих вузлів – листів, що виписуються при обході дерева ліворуч – униз і праворуч – нагору.

Розглянемо, наприклад, граматику Г_10.10.

Г_10.8: V_т = {a, b}, V_a = {I},

R = {I aIb (1)

I ab}, (2)

яка породжує мову L(Г₈) = {aa...abb...b}, де а і b повторюються по n разів (n = 1, 2, ...).

Виведення ланцюжка за допомогою правил цієї граматики має вигляд дерева, відображеного на Рис. 10.1.

Рисунок 10.1 – Виведення ланцюжка aaabbb

10.5.1. Синтаксичний розбір. Виведення ланцюжка за допомогою правил граматики може бути задане не тільки у вигляді синтаксичного дерева. Якщо пронумерувати правила граматики, то послідовність номерів правил, які використані, також задає виведення.

Визначення. Послідовність номерів правил граматики Г, застосування яких дозволяє побудувати виведення заданого ланцюжка  з початкового символу граматики, називається синтаксичним розбором ланцюжка.

Наприклад, у граматиці Г_10.9:

Г_10.9: V_т = {i, +, *, (, )}, V_a = {E, T, P}

R = {E  E + T (1)

E  T (2)

T  T * P (3)

T  P (4)

P  (E) (5)

P  i}, (6)

правила якої пронумеровані, виведення ланцюжка i * i + i буде таким:

E E + T T + T T * P + T P * P + T i * P + T i * i + T

i * i +P i * i + i

Отже послідовність використання правил є такою – 1, 2, 3, 4, 6, 6, 4, 6.

Якщо в процесі побудови виведення з'являються проміжні ланцюжки, що містять кілька нетермінальних символів, то можна продовжувати виведення, заміняючи кожний з ланцюжків. Таким чином, ті самі правила можуть бути використані при виведенні ланцюжка у будь-якому порядку.

Наприклад, виведення ланцюжка i + i в граматиці Г_10.9 може бути отримане декількома різними способами.