10.2. Приклади, що ілюструють первинні поняття

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють введені поняття.

1. Задана граматика Г_10.0 і потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.0: V_т = {a, b, c}, V_a = {I}, R = {I  bac}.

Схема граматики містить одне правило, тому Г_10.0 породжує мову з одного слова

L(Г_10.0) = {bac}.

2. Задана граматика Г_10.1. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.1: V_т = {a, b, c, d}, V_a = {I, B, C},

R = {I  aB

B  Cd

B  dc

С  b

C  $}.

Побудуємо всі виведення в цій граматиці:

I  aB  aCd  abd,

I  aB  aCd  ad,

I  aB  adc.

Отже, мова L(Г_10.1) = {abd, ad, adc}.

3. Задана граматика Г_10.2. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.2: V_т = {0, 1}, V_a = {I, A},

R = { I  0A1

0A  00A1

A  $}.

Розглянемо кілька виведень за допомогою правил граматики Г_10.2. Застосовуючи перше і третє правила, одержуємо

I  0A1  01.

Застосовуючи два рази перше правило і третє, маємо

I  0A1  00A11  0011.

У загальному випадку, застосовуючи k разів перше правило, одержимо в результаті ланцюжок, що містить k нулів і k одиниць.

Отже, мова, яка породжується граматикою Г_10.2, містить різні ланцюжки, в яких число нулів дорівнює числу одиниць.

4. Задана граматика Г_10.3. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою.

Г_10.3: V_т = {a, b}, V_a = {I, A},

R = {I  aA

A  аA}.

Спроба побудови виведення результату в цій граматиці приводить нас до ланцюжка:

I  aA  aаA  aааA  ... ,

який виявляється нескінченним. Іншими словами, граматика Г_10.3 породжує порожню мову.

10.3. Порожня мова

Визначення. Якщо мова, породжувана граматикою Г, не містить жодного кінцевого ланцюжка (кінцевого слова), то вона називається порожньою.

Твердження. Для того щоб мова L(Г) не була порожньою, у множині R повинне бути хоча б одне правило вигляду R = {    }, де  V_т і повинно існувати виведення I * .

10.4. Типи формальних мов і граматик

У теорії формальних мов виділяють 4 типи граматик, яким відповідають 4 типи мов. Такий розподіл зветься «граматична структура Хомського». Ці граматики виділяються шляхом накладення обмежень на правила граматики.

10.4.1. Граматики типу 0. Граматики типу 0, що називаються граматиками загального вигляду, не мають ніяких обмежень на правила породження. Будь-яке правило

R = {   }

може бути побудоване з використанням довільних ланцюжків   (V_т  V_a). Наприклад, RLW  FWT x Ab  xrtHVD.

10.4.2. Граматики типу 1. Граматики типу 1, що називаються також контекстно-залежними граматиками, не допускають використання будь-яких правил. Правила виведення в таких граматиках повинні мати вигляд:

₁A₂ ₁₂,

де ₁,₂ – ланцюжки, можливо порожні, з множини (V_т  V_a), символ А V_a і ланцюжок  (V_т  V_a). Ланцюжки ₁ і ₂ залишаються незмінними при застосуванні правила, тому їх називають контекстом (відповідно лівим і правим), а граматику – контекстно залежною.

Граматики типу 1 значно зручніші на практиці, ніж граматики типу 0, оскільки в лівій частині правила замінюється завжди один нетермінальний символ, який можна зв'язати з деяким синтаксичним поняттям, у той час як у граматиці типу 0 можна заміняти відразу кілька символів, у тому числі й термінальних.

Наприклад, граматика: Г_10.4: V_т = {a, b, c, d}, V_a = {I, A, B},

R = { I  aAI (1)

AI  AAI (2)

AA  ABA (3)

A  b (4)

bBA  bcdA (5)

bI  ba} (6)

є контекстно залежною, оскільки друге і шосте правила мають непорожній лівий контекст, а третє і п'яте правила містять обидва контексти. Виведення у такій граматиці може мати вигляд: